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专题7导数与不等式证明

知识必备

利用导数证明不等式

构造新函数.

(1)直接构造

常见形式是：fxgx

(2)间接换元构造

对于构造的形式不能求导，需换元处理.

(3)数列不等式构造

常见于关于n的求和不等式，利用不等式成立的充分条件——通项不等关系，再构造函数证明不等式即可.

典型例题

【例题1】证明不等式lnx2x1

【例题2】已知函数fx

(1)求曲线yfx在点

(2)证明：fx

【例题3】已知函数fx

(1)若a1，求函数f

(2)若a1，求证：在区间[1，∞)上，函数fx

【例题4】当mn0时，证明：me

【例题5】证明：当mn0时，1m

【例题6】已知函数fx

(1)求fx

(2)证明：当xe时，elnxlnx

【例题7】求证：lnn

【例题8】求证：ln2ln3

【例题9】已知函数fx

(1)若a2时，试证明：当x≥2时，f

(2)如果函数yfx是定义域上的增函数，求

(3)求证：lnn

【例题10】设函数fxx2

(1)若f10

(2)当a0时，讨论函数fx

(3)证明：对任意的正整数n，不等式lnn