专题52独立事件、条件概率与全概率公式
知识必备
1条件概率
（1）定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且PA0，称PB∣A=P
注：
（i）条件概率PB∣A
（ii）若PA=0，表示条件A不可能发生，此时用条件概率公式计算PB∣A
（2）性质：
i条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤PB∣A≤1
ii如果B与C互斥，则PB?C∣A=P
iii已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求PB∣A，相当于把A看作新的基本事件空间计算AB发生的概率，即PB∣A
从而求条件概率会产生两种常见方法——公式法和缩减样本空间法.
2相互独立与条件臤率的关系
（1）相互独立的概念
①相互独立的概念：
对于两个事件A，B，如果PB∣A=PB，则意味着事件A的发生不影响事件B发生的概率设PA0，根据条件概率的计算公式，
由此我们可得：设A，B为两个事件，若PAB=PAPB
②概率的乘法公式
由条件概率的定义，对于任意两个事件A与B，若PA0，则P
③相互独立的推广
两个事件的相互独立性可以推广到nn2，n∈N?个事件的相互独立性，即若事件A1，A2
（2）事件的独立性
①如果事件A，B互相独立，那么A与B，A与B，A
②事件A与B相互独立的充要条件是PAB
③当PB0时，A与B独立，则
④当PA0时，A与B独立，则
3全概率公式
（1）全概率公式
①PB
②一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1?A2???
i任意两个事件均互斥，即AiA
iiA1?
iiiPAi
对Ω中的任意事件B，都有B=BA1B
注：i全概率公式用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，运用了“化整为零”的思想.
ii所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式.
（2）贝叶斯公式
①一般地，当0PA1且P
②一般地，设A1，A2，?，An是一组两两互斥的事件，A1?
我们称这个公式为贝叶斯公式.
其中PAi是试验之前就已知的概率，称为先验概率；PAi∣B
贝叶斯公式使用条件：
i任意两个事件均互斥，即AiA
iiA1?
iii0PAi
对Ω中的任意概率非零的事件B，都有B=BA
所以PA
注：i在理论研究和实际中还会遇到一类问题，就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的时候使用贝叶斯公式贝叶斯公式的意义是导致事件B发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率.
ii贝叶斯公式充分体现了PA∣B，PA，PA，P
典型例题
考点一条件概率
【例题1】从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则PB∣A
A18 B14
C25 D12
【例题2】甲、乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从加多宝、农夫山泉、雪碧这3种饮品中随机选择一种，且两人的选择结果互不影响记事件A=“甲选择农夫山泉”，事件B=“甲和乙选择的饮品不同”，则PB∣A
A14 B12
C13 D23
【例题3】一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是（）
A14 B23
C12 D13
【例题4】甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制（无平局），甲在每局比赛中获胜的概率均为23
A13 B25
C23 D45
【例题5】某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为
A8225 B12
C38 D34
【例题6】已知PA=P
考点二相互独立事件及其概率
【例题7】已知A，B是一次随机试验中的两个事件，若满足PA
A事件A，B互斥 B事件A，B相互独立
C事件A，B不互斥 D事件A，B不相互独立
【例题8】袋内有大小相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，设事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，则下列说法正确的是（）
A事件A与B为互斥事件 B事件B与C为对立事件
C事件A与B为非相互独立事件 D事件A与C为相互独立事件
【例题9】抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面出现的点数，在下列事件中与事件“出现的点数为偶数”相互独立的事件为（）
A“出现的点数为奇数” B“出现的点数大于2
C“出现的点数小于4 D“出现的点数小于3”
【例题10】袋子里装有形状大小完全相同的4个小球，球上分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，A表示事件“第一次取出的球上数字是1”，B表示事件“第二次取出的球上数字是2”，C表示事件“