专题51事件与概率
知识必备
1随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母E表示.
我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验:
(1)试验可以在相同条件下重复进行;
(2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.
2有限样本空间
我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的样本空间一般地,用Ω表示样本空间,用ω表示样本点如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,
3随机事件
(1)一般地,随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示,为了叙述方便,我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生.
(2)Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件.
(3)空集?不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称为?不可能事件.
(4)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件.
4事件的关系与运算
(1)包含关系:一般地,对于事件A和事件B,如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或者称事件A包含于事件B),记作B?A或者A?B与两个集合的包含关系类比,可用图表示:
(2)相等关系:特别地,如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即B?A且A?B,称事件A与事件B相等记作A=B与两个集合的相等关系类比,可用图表示:
(3)并事件(和事件):一般地,事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件),记作A?B(或AB)与两个集合的并集类比,可用图表示:
(4)交事件(积事件):一般地,事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件),记作A?B(或AB)与两个集合的交集类比,可用图表示:
5互斥事件与对立事件
(1)互斥事件:一般地,如果事件A和事件B不能同时发生,也就是说A?B是个不可能事件,即A?B=?,则称事件A与事件B互斥(或互不相容),可用图表示:
如果A1,A
(2)对立事件:一般地如果若事件A和事件B在任何一次实验中有且只有一个发生,即A?B=Ω,且A?B=?,则称事件A和事件B互为对立,事件A的对立事件记为A可用图表示:
(3)互斥事件与对立事件的关系
①互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生.
②对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件,即“互斥”是“对立”的必要不充分条件,而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件.
简言之,是对立事件必是互斥事件,是互斥事件不一定为对立事件
事件的关系或运算
含义
符号表示
包含
A发生导致B发生
A?B
并事件(和事件)
A与B至少一个发生
A?B或A
交事件(积事件)
A与B同时发生
A?B或AB
互斥(互不相容)
A与B不能同时发生
A?B=?
互为对立
A与B有且仅有一个发生
A?B=?,A?B=Ω
6频率与概率
(1)频率:在n次重复试验中,事件A发生的次数k称为事件A发生的频数,频数k与总次数n的比值kn,叫做事件A
(2)概率:对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率事件A的概率,记作PA.
(3)概率与频率的关系:
大量试验表明,在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有随机性.
一般地,随着实验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fnA会逐渐稳定于事件A发生的概率PA我们称频率的这个性质为频率的稳定性因此可以用频率fnA
7概率的基本性质
(1)对于任意事件A都有:0≤PA
(2)必然事件的概率为1,即PΩ=1;不可能事件的概率为0,即P?
(3)概率的加法公式:如果事件A与事件B互斥,则PA?B
推广:一般地,如果事件A1,A2,…,An
(4)对立事件的概率:如果事件A与事件B互为对立事件,则PA=1PB,PB
(5)概率的单调性:如果A?B,则PA
(6)设A,B是一个随机试验中的两个事件,则PA?B
8古典概型及其概率公式
(1)定义
一般地,若试验E具有以下特征:
①有限性:样本空间的样本点只有有限个;
②等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
称试验E为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.
(2)古典概型的概率公式
一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定