******************************通解为第63页，共73页，星期日，2025年，2月5日定义3.3（n阶行列式的逆序数定义）其中，是自然数1，2，…，n的一个排列；是对所有这样的排列求和，共有项；是排列的逆序数，其定义为：在一个排列中，如果，则称出现一个逆序，一个排列中出现逆序的总数称为这个排列的逆序数。第64页，共73页，星期日，2025年，2月5日例如因此第65页，共73页，星期日，2025年，2月5日解根据行列式的逆序数定义，能够出现x4，x3的项只有设例3.19问f(x)中x4，x3系数分别是多少？和故所以，x4，x3的系数分别为1，-4。第66页，共73页，星期日，2025年，2月5日计算n阶行列式Dn拆分为如下两个行列式，且第一个行列式按最后一列展开，注意与例3.7的形式不同。第二个行列式利用备用题4解第67页，共73页，星期日，2025年，2月5日第68页，共73页，星期日，2025年，2月5日特征5：除对角线元素外，上三角各元素相等，下三角各元素相等，常用拆分法或数学归纳法求解。阅读书上例题3.10。第69页，共73页，星期日，2025年，2月5日设分块矩阵，其中A是m阶方阵，B是n阶方阵，证明。设备用题5证明第70页，共73页，星期日，2025年，2月5日对作ri+krj类型的变换将其化为下三角行列式，设为对作ci+kcj类型的变换将其化为下三角行列式，设为第71页，共73页，星期日，2025年，2月5日于是，对的前m行作与相同类型的变换ri+krj，再对后n列作与相同类型的变换ci+kcj，化为下三角行列式所以第72页，共73页，星期日，2025年，2月5日类似地，若其中A是m阶方阵，B是n阶方阵，则第73页，共73页，星期日，2025年，2月5日*********************计算行列式将行列式第2、3、4列加到第一列,得例3.6解第31页，共73页，星期日，2025年，2月5日特征1：对于所有行（列）元素相加后相等的行列式，可把第2行至n行加到第一行（列），提取公因子后在简化计算。将行列式第2,3,…,n列加到第一列,得计算n阶行列式例3.7解第32页，共73页，星期日，2025年，2月5日第33页，共73页，星期日，2025年，2月5日计算n阶行列式利用初等列变换可将该行列式化为三角形行列式特征2：第一行，第一列及对角线元素除外，其余元素全为零的行列式称为爪型行列式。例3.8解第34页，共73页，星期日，2025年，2月5日计算范德蒙德(Vandermonde)行列式从最后一行开始，每行减去上一行的an倍。特征3：范德蒙德(Vandermonde)行列式的计算过程及结论。例3.9解第35页，共73页，星期日，2025年，2月5日第36页，共73页，星期日，2025年，2月5日按最后一列展开第37页，共73页，星期日，2025年，2月5日第38页，共73页，星期日，2025年，2月5日解：所以根为x=1,2,3.练习第39页，共73页，星期日，2025年，2月5日计算行列式D2n的值按第一行展开备用题2解第40页，共73页，星期日，2025年，2月5日第41页，共73页，星期日，2025年，2月5日计算n阶行列式的值按第一行展开备用题3解第42页，共73页，星期日，2025年，2月5日得递推公式特征4：所求行列式某一行（列）至多有两个非零元素，按这一行展开，并能够得到较低阶的具有相同结构的行列式，如备用题2、3。第43页，共73页，星期日，2025年，2月5日定理3.3（行列式的乘法定理）只用第三种初等行变换可把A化为上三角矩阵证明设A，B是n阶方阵，则注当A，B都是n阶方阵时，一定有只用第三种初等列变换可把B化为上三角矩阵即存在第三种初等矩阵使得并有因此第44页，共73页，星期日，2025年，2月5日设A是奇数阶方阵，且证明例3.10