****积代数定义9.9设V1=A,?和V2=B,?是同类型的代数系统，?和?为二元运算，在集合A?B上如下定义二元运算?，?a1,b1,a2,b2?A?B，有a1,b1?a2,b2=a1?a2,b1?b2称V=A?B,?为V1与V2的积代数，记作V1?V2.这时也称V1和V2为V的因子代数.实例Z2={0,1}，V=Z2,?，V1?V2=Z2?Z2,?Z2?Z2={0,0,1,0,0,1,1,1}0,1?1,0=0?1,1?0=1,1*第31页，共40页，星期日，2025年，2月5日积代数的性质定理9.3设V1=A,?和V2=B,?是同类型的代数系统，V1?V2=A?B,?是它们的积代数.(1)如果?和?运算是可交换（可结合、幂等）的，那么?运算也是可交换（可结合、幂等）的(2)如果e1和e2（?1和?2）分别为?和?运算的单位元（零元），那么e1,e2（?1,?2）也是?运算的单位元（零元）(3)如果x和y分别为?和?运算的可逆元素，那么x,y也是?运算的可逆元素，其逆元就是x?1,y?1注意：积代数的定义可以推广到具有多个运算的同类型的代数系统，同时积代数也保留因子代数的分配律和吸收律，但不一定保持消去律*第32页，共40页，星期日，2025年，2月5日9.3代数系统的同态与同构定义9.10设V1=A,°和V2=B,?是同类型的代数系统，f:A?B，且?x,y?A有f(x°y)=f(x)?f(y),则称f是V1到V2的同态映射，简称同态.同态分类：(1)f如果是单射，则称为单同态(2)如果是满射，则称为满同态，这时称V2是V1的同态像，记作V1?V2(3)如果是双射，则称为同构，也称代数系统V1同构于V2，记作V1?V2(4)如果V1=V2，即f是V到V的则称作自同态类似的有单自同态，满自同态，自同构*第33页，共40页，星期日，2025年，2月5日注意：同态映射可保持良好的性质（消去律可能除外）上述关于同态映射的定义可以推广到具有有限多个运算的代数系统。例如：对于具有两个二元运算的代数系统V1=A,°1,°2和V2=B,?1,?2，f:A?B，如果?x,y?A有f(x°1y)=f(x)?1f(y)和f(x°2y)=f(x)?2f(y)那么f是V1到V2的同态映射。*第34页，共40页，星期日，2025年，2月5日实例例9.11(1)设V1=Z,+,V2=Zn,?．其中Z为整数集，+为普通加法；Zn={0,1,…,n?1}，?为模n加.令f:Z→Zn，f(x)=(x)modn那么f是V1到V2的满同态．(3)设V=Z,+，其中Z为整数集，+为普通加法.?a?Z，令fa:Z?Z，fa(x)=ax，那么fa是V的自同态.当a=0时称f0为零同态；当a=?1时，称fa为自同构；除此之外其他的fa都是单自同态.(2)设V1=R,+,V2=R*,·，其中R和R*分别为实数集与非零实数集，+和·分别表示普通加法与乘法．令f:R→R*，f(x)=ex则f是V1到V2的单同态.*第35页，共40页，星期日，2025年，2月5日第九章习题课主要内容代数系统的构成：非空集合、封闭的二元和一元运算、代数常数二元运算性质和特异元素：交换律、结合律、幂等律、分配律、吸收律、单位元、零元、可逆元和逆元同类型的与同种的代数系统子代数的定义与实例积代数的定义与性质代数系统的同态与同构*第36页，共40页，星期日，2025年，2月5日基本要求判断给定集合和运算能否构成代数系统判断给定二元运算的性质求而二元运算的特异元素了解同类型和同种代数系统的概念了解子代数的基本概念计算积代数判断函数是否为同态映射和同构映射*第37页，共40页，星期日，2025年，2月5日练习11．设°运算为Q上的二元运算，?x,y?Q,x°y=x+y+2xy,