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作业04导数的综合应用
（证明不等式、恒成立、有解、零点、方程的根、双变量、隐零点、极值点偏移）
恒成立问题常见类型
假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式，
（1）的值域为
①，则只需要
，则只需要
②，则只需要
，则只需要
（2）若的值域为
①，则只需要
，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
②，则只需要
，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
能成立（有解）问题常见类型
假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式，
（1）若的值域为
①，则只需要
，则只需要
②，则只需要
，则只需要
（2）若的值域为
①，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
②，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
极值点偏移的含义
众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点.如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.
若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同.故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系：
若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏.
如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏.
极值点偏移问题的一般题设形式
1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；
2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；
3.若函数存在两个零点且，令，求证：；
4.若函数中存在且满足，令，求证：.
一、单选题
1．对任意，都有成立，则实数的取值范围为（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出函数和的图象，利用导数的几何意义，即可求解.
【详解】设函数，则直线恒过点，
如图，画出和的图象，两个函数图象都过点，
当直线与相切时，，即，
??
如图可知，若，成立，则.
故选：D
2．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的最小值为（????）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】先根据导数判断函数的单调性，然后利用函数单调性对已知不等式变形，再通过构造新函数进行求解即可.
【详解】由题可知，，
由于，故在上恒成立，
故在上单调递增，
因为，
所以，即恒成立，
令，，
则，
由可得，，由可得，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，
即，
故，解得
故实数的最小值为.
故选：B
3．已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】函数有两个零点，即函数的图象与的图象有两个交点，由导数判断函数的单调性、极值，由函数图象的交点个数得的范围.
【详解】函数有两个零点，即函数的图象与的图象有两个交点，
函数的定义域为，
,
令，解得，
,的变化情况如下表：
-
0
+
单调递减
单调递增
所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故当时，有极小值，
令，解得，
当时，；当时，，
当无限趋向于负无穷大时，无限趋向于0；当无限趋向于正无穷大时时，无限趋向于正无穷大，
由此作出函数的大致图象：
由图象得：当时，交点为0个；
当或时，交点为1个；
当时，交点为2个.
若函数的图象与的图象有两个交点，
则由图可知，实数的取值范围为.
故选：A.
4．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（??）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】等价于，令，求导分析单调性，可得等价于，进而可得，令，只需，利用导数求解最值即可得出答案．
【详解】等价于，
令，则，所以是增函数，
所以等价于，
所以，所以，
令，则，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以，故
所以实数的取值范围为．
故选：B．
【点睛】方法点睛：利用导数解决不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
5．已知函数，若关于的方程的不同实数根的个数为4，则的取值范围为（?