预习01空间向量及其运算
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型强知识：9大核心考点精准练
第二步：记
串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1：空间向量的有关概念
1．空间向量的定义及表示
定义
在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量
长度或模
空间向量的大小叫做空间向量的长度或模
表示方法
几何表示法
空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模
符号表示法
若向量的起点是A，终点是B，则也可记作，其模记为或
2.几类特殊的空间向量
名称
方向
模
表示法
零向量
任意
0
记为
单位向量
1
相反向量
相反
相等
记为
共线向量
相同或相反
相等向量
相同
相等
知识点2：空间向量的线性运算
1.空间向量的加减运算
加法运算
三角形法则
语言叙述
首尾顺次相接，首指向尾为和
图形叙述
平行四边形法则
语言叙述
共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和
图形叙述
减法运算
三角形法则
语言叙述
共起点，连终点，方向指向被减向量
图形叙述
2.空间向量的数乘运算
定义
与平面向量一样，实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为空间向量的数乘
几何意义
与向量的方向相同
的长度是的长度的倍
与向量的方向相反
3.空间向量的运算律
交换律
结合律
分配律
知识点3：空间向量的夹角及数量积运算
1．空间向量的夹角
2．空间向量的数量积
3．数量积的运算律
数乘向量与数量积的结合律
交换律
分配律
4．投影向量
5．数量积的性质
知识点4：共线向量与共面向量
1.直线的方向向量
定义：把与平行的非零向量称为直线的方向向量．
2．共线向量与共面向量的区别
共线(平行)向量
共面向量
定义
位置关系
表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量
平行于同一个平面的向量叫做共面向量
特征
方向相同或相反
特例
零向量与任意向量平行
充要条件
知识点5：空间向量基本定理
1.空间向量基本定理
2.单位正交基底
3.正交分解
像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量正交分解．
知识点6：空间直角坐标系及坐标表示
1．空间直角坐标系
（2）相关概念：
2．空间向量的坐标表示
（1）空间点的坐标
（2）空间向量的坐标
（3）空间向量的坐标运算
向量运算
坐标表示
加法
减法
数乘
数量积
共线
垂直
向量长度
向量夹角公式
【题型1空间向量的有关概念】
1．下列命题是真命题的是（????）
A．空间向量就是空间中的一条有向线段
B．不相等的两个空间向量的模必不相等
C．任一向量与它的相反向量不相等
D．向量与向量的长度相等
【答案】D
【详解】对于A，有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来，故A错误；
对于B，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可，故B错误；
对于C，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故C错误；
对于D，与仅是方向相反，它们的长度是相等的，故D正确，
故选：D
2．给出下列命题：
①零向量没有方向；
②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中正确命题的个数为（????）
A．4 B．3
C．2 D．1
【答案】D
【详解】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误；
当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误；
根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量与的方向不一定相同，故③错误；
命题④显然正确；
对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误．
故选：D.
【答案】BC
【详解】如图，
故选：BC．
A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个
C．的相反向量有4个 D．模为的向量有4个
【答案】ABC
模为的向量分别为，，，，，，，，共8个，故D错误．
故选：ABC
【题型2空间向量的线性运算】
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
故选：C.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】由正方体，空间向量的加法法则可得．
故选：D．
A． B． C． D．
【答案】B
故选：B.
8．（多选）如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，则（????）
【答案】ACD
故选：ACD
【答案】
【答案】(1)
(2)
(3)
【题型3共线、共面向量定理的应用】
【答案】