由“数”塑“形”以“形”研“数”
摘要：将代数推理与几何直观相结合，引导学生由“数”塑“形”、以“形”研“数”，可以更好地发展学生的数学核心素养。具体实践中，教师先要基于一般路径设置学习任务链，充分调动学生解决问题的欲望，再引领其进入课堂学习，经历以“数”推“形”、由“数”研“形”、观“形”解“数”、“形”“数”互动等阶段，学会运用“形”与“数”两个视角推理并解决问题，发展数形结合思想。教师还需注意：在由“数”塑“形”时，要以代数推理促理解；在以“形”研“数”时，要以函数图表显直观；在“形”“数”融合时，要以生长课堂育素养。
关键词：代数推理；几何直观；数形结合；初中数学
《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“《义教数学课标》”）强调学生代数推理和几何直观素养的发展。代数推理是指从一定的条件出发，依据代数定义、代数公式、运算法则、运算律、等式（不等式）的性质等，得到具体数和代数式结构、数量上的相等和不等关系等［1］。根据《义教数学课标》，几何直观素养的主要表现是：能够发现或构建数学符号的几何意义，运用数形结合的方法解决问题；能够运用图表工具表示、分析问题情境中的数量关系，构建模型和解决问题。在函数教学中，将代数推理与几何直观相结合，引导学生由“数”塑“形”、以“形”研“数”，可以更好地发展学生的数学核心素养。下面，笔者以“反比例函数的图象与性质”教学为例具体阐述。
一、基于一般路径设置学习任务链
“反比例函数的图象与性质”是浙教版义务教育教科书《数学》八年级下册中的内容，此前，学生已学习过正比例函数和一次函数（八年级上册），学会了利用描点法画函数图象，积累了通过画函数图象、观察图象来探索性质的函数学习经验，基本形成了利用“已学函数”研究“新学函数”的一般路径：函数解析式（自变量取值范围内）→函数图象（名称、形状、经过的象限、与坐标轴的交点）→函数的性质（增减性、最值、对称性等）→函数的应用。基于这样的一般路径，笔者从学生已有的认知基础出发，在“反比例函数的图象与性质”一课的课堂伊始设置了半开放、较复杂、有挑战，能够激发学生数学思考的主动性，引发学生“持久思考”的学习任务链，具体如下。
［任务1］分组，利用描点画图法，独立完成表1填写，在同一个坐标系中画出两个反比例函数[y=2/x]和[y=-6/x]的图象。
［任务2］画好图象后，与组内其他同学进行对比。发现：有哪些不同？思考：应该如何修改？
［任务3］根据图象，探索反比例函数的图象特征及其性质，独立思考5分钟，然后在小组内分享交流。
上述学习任务链以一般观念为指导，引导学生自主画图、独立思考和合作探究，给学生创设探索性质、独立概括的“时空”，着力培养学生发现问题、提出问题的意识，助力学生自觉思考、转识成智。
二、由“数”塑“形”、以“形”研“数”的教学实施
笔者给予学生一定的时间，并巡视、参与小组讨论，发现学生有以下争论问题：（1）图象在一、三象限还是二、四象限？（2）两个象限的图象究竟要不要用“线”连结？（3）图象是否为两段折线？（4）图象是否为两条曲线？（5）增减性和一次函数是否一样？（6）图象与坐标轴是否无限接近？（7）两个象限的两条线对称吗？在争论中，学生充分调动起了解决问题的欲望。而学生“愤悱”之时，正是引导其进行探索的好时机，由此，笔者引领学生正式进入课堂学习。
（一）以“数”推“形”
借助数据可视化手段，通过图象绘制推导图形的形状，是几何和函数学习的常用方法。因此，笔者立足反比例函数概念的多元表征，以系数k的符号为思维点，引导学生从特殊到一般，通过代数推理，经历猜想、归纳、推理和验证，探索两个分支“分象限”之缘。
【教学片段1】两个分支“分象限”之缘
问题1：根据描点法画图发现反比例函数图象的位置在一、三象限或二、四象限，你能说明理由吗？
问题2：类比一次函数，反比例函数图象所在的象限与系数k有怎样的关系？
问题3：反比例函数的定义中，[y=k/x]（k≠0）等价于xy=k，你能从函数解析式的角度来分析吗？如xy=2和xy=-6，给你带来什么启发？
［学生活动］以xy=2和xy=-6为思维起点，根据同号得正，异号得负，从特殊到一般猜想结论，并由xy=k证明得：当kgt;0时，x和y同号，所以图象在一、三象限；当klt;0时，x和y异号，所以图象在二、四象限。
设计意图：对数学概念进行多元表征，可提高数学思维的灵活性。上述教学片段不仅引导学生从特殊到一般进行归纳猜想，而且根据“xy=2→xy=k（kgt;0）→x与y同号→满足函数关系的所有点（x，y）在第一或第三象限→函数图象在一、三象限”（klt;0时亦然）这样的思维路径，引导学生利用代数推理，经历观察、分析、证明等过程，搭建高阶思维，促进深度理解。
（二）由“数”研“形”
由“数”研