§2.9函数模型及其应用
考情考向分析考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，题型以解答题为主，中高档难度．
1．几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2.三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a1)
y＝logax(a1)
y＝xn(n0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax
知识拓展
1．解函数应用题的步骤
2．“对勾”函数
形如f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a0)的函数模型称为“对勾”函数模型：
(1)该函数在(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)上单调递增，在[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)]上单调递减．
(2)当x0时，x＝eq\r(a)时取最小值2eq\r(a)，
当x0时，x＝－eq\r(a)时取最大值－2eq\r(a).
题组一思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(×)
(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(×)
(3)不存在x0，使logax0.(×)
(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a0)的增长速度．(√)
(5)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(×)
题组二教材改编
2．[P104习题T1]某县目前人口100万人，经过x年后为y万人，若人口年增长率是1.2%，则y关于x的函数关系式是．
答案y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)
解析本题属于简单的指数模型的应用问题，依题意有y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．
3．[P104习题T2]生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝eq\f(1,2)x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为万件．
答案18
解析利润L(x)＝20x－C(x)＝－eq\f(1,2)(x－18)2＋142，
当x＝18时，L(x)有最大值．
4．[P77例2]用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为．
答案3
解析设隔墙的长度为x(0x6)，矩形面积为y，则y＝x×eq\f(24－4x,2)＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，
∴当x＝3时，y最大．
题组三易错自纠
5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为．
答案eq\r(?p＋1??q＋1?)－1
解析设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，
∴x＝eq\r(?1＋p??1＋q?)－1.
6．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到只．
答案200
解析由题意知100＝alog3(2＋1)，
∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)．
当x＝8时，y＝100log39＝200.
题型一已知函数模型的实际问题
典例(1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为分钟．
答案3.75
解析根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，
联立方程组得eq\b\lc\{\rc\(