基于数学对象研究套路的教学活动设计探究
摘要：数学知识有着自身的发生发展规律，数学对象的研究有着特殊的套路，即“背景—概念—性质—结构—应用”.按照数学对象的研究套路创设问题情境，设计系列化的教学活动，符合数学知识发生发展的内在逻辑和学生的心理逻辑，能帮助学生厘清知识的来龙去脉，建立知识间的关联，加深对数学的理解，从而学会学习，提升数学核心素养.具体教学中，教师可围绕“立足认知基础，追根溯源，厘清知识产生来路”“创设合适情境，抽象概括，获得数学对象及其概念”“剖析数学对象，逻辑思考，获得重要的数学性质”“设计典型例题，分析解决，体现数学对象的应用价值”四个方面进行设计.
关键词：数学对象；研究套路；教学活动设计；高中数学
数学研究对象多种多样，但研究的内容、过程和方法是一脉相承的，正所谓“研究对象在变，研究套路不变，思想方法不变”［1］.章建跃对“函数”“几何”“向量”“概率”各条主线的研究路径进行了归纳，指出它们的基本要点都是：背景（现实世界中的一类现象）—概念（研究对象）—性质（要素、相关要素之间的关系、变化规律等）—结构（相关知识的联系）—应用［2］.此研究路径体现了数学知识的发生发展过程，符合学生的认知规律，也是数学对象的研究套路.
核心素养导向的数学教学要做到“两个过程”的合理性，即从数学知识发生发展过程的合理性、学生认知过程的合理性上加强思考，这是落实数学核心素养的关键点［3］.“两个过程”的合理性是实现数学知识自然生成的前提，依据数学对象的研究套路组织教学，就是这种合理性在教学中的具体体现.可见，以数学对象的研究套路为指导设计教学活动，能实现知识的自然生成，促进学生学会学习和对数学的理解，从而提升数学核心素养.下面，笔者以“条件概率”为例，阐述基于数学对象研究套路的教学活动设计路径.
一、基于数学对象研究套路的教学内容解析
“条件概率”是人教A版普通高中教科书《数学》选择性必修第三册（以下简称“《数学·选必三》”）第七章第一节中的内容，主要介绍了条件概率的概念、条件概率与随机事件独立性的关系、概率的乘法公式、条件概率的性质及应用.由条件概率概念导出的乘法公式是积事件概率求法的推广，乘法公式和条件概率的性质是全概率公式和贝叶斯公式的推导依据.这些公式丰富了概率的运算法则，为计算复杂事件的概率提供了有力的工具.为全面了解该教学内容，笔者从背景、概念、性质、结构、应用五个方面对其进行解析.
该教学内容是在学生掌握了必修课程中关于概率的知识技能、思想方法、活动经验的基础上，对两个不相互独立随机事件积事件概率的深入研究.对该内容进行教学所需的预备知识为：概率的基本性质、相互独立随机事件积事件概率.该教学内容的实际背景是：实际生活中，已知某一事件发生的前提下，另一事件发生的概率大小.
该教学内容中的重要概念为条件概率，其形成需经历四个过程：类比和事件概率的基本性质，运用推广的思维方式，明确研究“两个不相互独立随机事件同时发生概率”的必要性和可能性；通过分析一类实际问题，抽象出条件概率就是“事件[A]发生的前提下，事件[B]发生的概率”，发展数学抽象核心素养；结合古典概型，通过列举试验的样本空间，解决实际问题，比较有、无附加条件时的概率，获得计算条件概率的本质就是“在缩小的样本空间上计算事件的概率”；将解决问题过程中形成的结论推广到一般的古典概型，形成条件概率概念.
通过联系、类比、特殊化等思维方式，探究条件概率的性质，发展逻辑推理核心素养.在该教学内容中，条件概率的性质主要包含三个方面：条件概率与随机事件独立性的关系；乘法公式；条件概率具有的概率基本性质.
概率乘法公式与条件概率公式的关系、条件概率与随机事件独立性的关系、条件概率与一般概率的关系，三者都体现了相关知识之间的联系，属于数学对象研究套路中的“结构”.
该教学内容安排了3个例题，均以现实情境为载体，围绕条件概率的求法、乘法公式和条件概率性质的应用等方面设置问题.教学中，教师要注意引导学生采用分解与综合、化难为易等方法，解决复杂事件的概率问题，形成转化的数学思想，发展数学运算和数学建模核心素养.
二、基于数学对象研究套路的教学活动设计路径
数学知识有着自身的发生发展规律，数学对象的研究有着特殊的套路，即“背景—概念—性质—结构—应用”.理解了数学对象的研究套路，我们就能更好地设计教学.在实际教学中，笔者遵从《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》对“条件概率”的教学要求，根据上述教学内容解析，从以下四个方面展开基于数学对象研究套路的教学活动设计.
（一）立足认知基础，追根溯源，厘清知识产生来路
数学是自然的，从数学知识发生发展规律上说，数学教学中的新知识都需要学生在已有的认知基础上，运用结构性、一致性、连贯性的数学思维，进行系统性、普适性的数学思考