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河北省部分学校2024-2025学年高三下学期5月联考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，则（????）
A．2 B．4 C． D．
2．函数的部分图象大致是（????）
A． B．
C． D．
3．若不等式恒成立，则正实数整数解的个数为（????）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．已知函数的图象过点，将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的图象的对称轴为（????）
A．， B．，
C．， D．，
5．现有甲、乙、丙、丁4位乒乓球业余爱好者组队参与某次比赛，比赛顺序是第一场双打，第二场与第三场单打，每人只参加其中一个项目，在每场比赛中赢对方的概率分别是，，，且每场比赛相互独立，则在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（????）
A． B． C． D．
6．已知抛物线：，过作两条斜率存在的直线分别与有一个公共点，公共点分别为，，则的面积为（????）
A． B．5 C．2 D．
7．已知定义在上的函数满足为偶函数，，则下列说法错误的是（????）
A．的图象关于中心对称
B．的周期为8
C．
D．当时，，则的值为
8．在平面直角坐标系中，点，与关于原点对称，现以轴为折痕，将轴下方部分翻折，使其与上方部分构成直二面角，两点相应变成，两点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知集合，，则下列结论正确的有（????）
A．集合的所有真子集个数是3
B．若，，则
C．若，则的最小值为2
D．若，则的最大值为
10．的内角，，所对的边分别是，，，则下列说法正确的有（????）
A．若，则是钝角三角形
B．若，，，则的周长为
C．若，，则面积的最大值为
D．若，，，则边上的中线长为
11．若圆锥的底面半径为1，母线长为3，则下列关于此圆锥的说法正确的是（????）
A．圆锥的侧面展开图的圆心角为
B．圆锥的体积为
C．过圆锥的两条母线作截面，则截面面积的最大值为
D．为底面圆周上一点，为上靠近的三等分点，从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为
三、填空题
12．已知，，，则.
13．已知，分别为双曲线：的左、右焦点，点在上，且满足，，则的离心率为.
14．已知函数的定义域为，为的导函数，且，，则的极大值为.若恰有2个整数解，则实数的取值范围为.
四、解答题
15．已知等差数列的前项和为，且满足，.
(1)求的通项公式；
(2)在中是否存在，，成等比数列？若存在，求出一个这样的3项；若不存在，请说明理由.
16．某学校为了解入学新生的身高情况，随机抽取了50名新生，测得他们的身高（单位：），并分成以下5组：，，，，，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)补全频率分布直方图，并求出样本中学生身高的中位数.（保留小数点后两位）
(2)该学校体育教研室为了解身高是否在一定的范围内与参加弹跳运动时长有关，调研得到以下5组数据：
参加弹跳运动时长（单位：年）
1
2
3
4
5
身高（单位：）
158
162
166
170
184
表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，试求出关于的回归方程.
附：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
17．如图，在斜三棱柱中，，，点在底面上的投影为的中点，点满足.
(1)当时，证明：平面平面；
(2)已知，若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.
18．椭圆：的离心率为，点在上.
(1)求的方程；
(2)圆：在椭圆内，过的右顶点作圆的两条切线，，斜率分别为，，且分别与交于，两点（均不与点重合）.
①求的值；
②当变化时，证明：直线与轴交于定点.
19．已知函数.
(1)当时，点在曲线上运动，过点作切线可得到一系列的切线，，，，称其为“动态切线系列”，试探讨“动态切线系列”中是否存在两条切线平行于轴；（写出推理依据）
(2)若分别是的两个不等的极值点.
①求实数的取值范围；
②证明：.
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《河北省部分学校2024-2025学年高三下学期5月联考数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
B
B
D
A
D
C
AC
AB
题号
11
答案
ABD