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河北省唐县第一中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（????）
A． B． C． D．
2．已知的内角所对的边分别是，若，则（????）
A． B． C． D．
3．已知向量满足，且，则在上的投影向量为（????）
A． B． C． D．
4．在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（????）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形
5．已知向量，若，则（????）
A．或 B．或 C．或 D．或
6．已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是（）
A．点为的内心 B．点为的外心
C． D．为等边三角形
7．某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为（????）（参考数据：）
?????
A． B． C． D．
8．如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为（????）
A． B．4 C． D．8
二、多选题
9．已知是复数，i为虚数单位，则下列说法正确的是（???）
A．若，则 B．
C．是的充要条件 D．若，则中至少有一个为0
10．已知的内角所对的边分别为，则（????）
A．
B．若，则
C．若，则为锐角三角形
D．若，则的形状能唯一确定
11．已知两个非零向量的夹角为，定义运算，则下列说法正确的是（????）
A．若，则
B．
C．若，则
D．若，则的最小值为
三、填空题
12．与垂直的单位向量的坐标为.
13．在中，，设边长为，若满足条件的有且只有一个，则的取值范围是.
14．如图，在扇形AOB中，，，点C在扇形AOB内部，，，则阴影部分的面积为．
四、解答题
15．已知的夹角为，，，，
(1)若，求实数t的取值范围；
(2)是否存在实数t，使得，若存在，求实数t.
16．在中，角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，点在边上，且是的平分线，求的面积.
17．在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，．
(1)当时，求的值；
(2)当时，求的值；
(3)求的取值范围．
18．记的内角的对边分别为，已知，.
(1)求角与；
(2)若点为的所在平面内一点，且满足，求的值；
(3)若点为的重心，且，求的面积.
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《河北省唐县第一中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
D
C
B
A
A
BD
AB
题号
11
答案
AC
1．B
【分析】将复数利用复数的四则运算求解出来，即可得出虚部.
【详解】由题意，得，所以的虚部为，
故选：B．
2．D
【分析】根据已知得，再由正弦边角关系即可得比值.
【详解】由，且，则，
所以.
故选：D
3．B
【分析】利用两个向量的垂直关系以及数量积的运算化简可得，再代入投影向量的公式即可.
【详解】因为，所以，
所以，
设的夹角为，
所以在上的投影向量为.
故选：B.
4．D
【分析】将已知结合二倍角公式，两角和的正弦公式，化简可得，从而可以判断三角形的形状.
【详解】，，
，
化简得，，
，即，
或，
，或，即或，
是直角三角形或等腰三角形.
故选：D.
5．C
【分析】根据向量垂直坐标运算列式，再结合齐次式计算求解即可得出正切值.
【详解】因为，所以，
所以，
解得或.
故选：C.
6．B
【分析】根据给定条件，利用向量数量积运算律，结合向量加减计算判断得解.
【详解】在中，由为的垂心，得，
由，得，
则，即，又，
显然，同理得，因此点为的外心，B正确，无判断ACD成立的条件.
故选：B.
7．A
【分析】由题可得，则，在中，列式运算得解.
【详解】，，
，则，
在中，，
，即.
所以该雕像的高度约为4m.
故选：A.
8．A
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法和基本不等式求得的最小值
【详解】如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，
的方向为轴的正方