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江苏省南京市金陵中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．复数满足，则的虚部为（????）
A． B． C．2 D．
2．已知向量，，若，且满足，则（???）
A． B． C．2 D．4
3．设，且，则（????）
A． B． C． D．
4．如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，则塔高为（???）
A． B． C． D．
5．若，，则（???）
A． B． C． D．
6．在中，，，，若，且，则的值为（???）
A． B． C． D．
7．若函数（其中）在上恰有1个零点，则的值可能是（???）
A． B． C．2 D．4
8．在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则的取值范围为（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列式子化简正确的是（???）
A． B．
C． D．
10．已知点M在所在平面内一点，则（???）
A．若M为BC中点，，则是在方向上的投影向量
B．若，则面积比
C．若，，的夹角两两相等，，，则
D．若为边长为2的正三角形，M为AB的中点，点E在线段BC上运动，则的取值范围为
11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，有如下判断，其中正确的是（???）
A．若，则为等腰直角三角形
B．若，则是锐角三角形
C．若，则是钝角三角形
D．“”是“为等边三角形”的充要条件
三、填空题
12．已知，，则．
13．在中，已知，，，，边上两条中线，相交于点，则的余弦值为.
14．数学语言是一门神奇的语言，比如对于任意的，，，，恒有不等式，这其实就是柯西不等式，但是换个角度，如果设向量，向量，上述不等式又可以表示为（用向量表示），正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”．带着这样多角度的眼光，请大家解决下面的问题：已知，若存在，当时，都有则k的取值范围是．
四、解答题
15．设，，向量，，，且，．
(1)求；
(2)求向量与夹角的余弦值．
16．已知复数，，其中．
(1)若，且为纯虚数，求复数；
(2)若为虚数，为实数，且，求实部的取值范围．
17．为了防止水鸟偷吃行知楼池塘的鱼儿，学校拟制作一个保护网，如图，是固定的框架，，AD是的角平分线，AD的长为2米，过D点安装另一直线型横架BC（B，C分别在AP，AQ上），围成安全区，由于池塘大小限制，AB、AC都不超过8米．设AB长为x米，AC长为y米．
(1)将y表示成x的函数，并求其定义域；
(2)若AB边上挂网的造价为2百元/米，AC边上挂网的造价为1百元/米，当两侧拦网AB和AC的总造价最低时，横架BC的长度为多少？
18．已知函数．
(1)求的对称中心；
(2)若，求的值；
(3)记，集合，试判断集合Q中最多有几个正整数元素，并求正整数元素最多时实数m的取值范围．
19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
(1)记的面积为S，且满足．
①求角B；
②若为锐角三角形，且，求的取值范围．
(2)对于，若存在，使得，，则称为的伴随三角形．若存在伴随三角形，试求出三个内角中的最大值．
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《江苏省南京市金陵中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
D
C
A
C
B
C
BD
ACD
题号
11
答案
BCD
1．A
【分析】根据复数的四则运算结合共轭复数的定义得出的虚部.
【详解】因为，
所以，
所以，所以的虚部为.
故选：A
2．A
【分析】根据条件，利用向量的坐标运算及共线的坐标运算，即可求解.
【详解】根据题意，得到，
由.
故选：A.
3．D
【分析】根据条件，利用平方关系和商数关系得到，利用正切的倍角公式得到，进而可得，再结合角的范围，即可求解.
【详解】因为，，则，所以，
则，又因为，则，
又，则，
又，，则，所以，
故选：D.
4．C
【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在直角中，利用正切函数的定义，求得的长即得答案．
【详解】在中，，所以．
由正弦定理，，可得，
在直角中，因为，所以，
即塔高为.
故选：C．
5．A
【分析】将平方，结合可得