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辽宁省沈阳市东北育才学校高中部2025届高三下学期适应性考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，若，则实数的取值范围是（???）
A． B． C． D．
2．设复数的共轭复数为，则（）
A． B． C． D．
3．已知且单位向量在方向上的投影向量为，则与的夹角为（???）
A． B． C． D．
4．已知一组数据0，9，7，4，5，从1到10中的整数里随机选择2个不同的数加入这组数据，则得到的新数据与原数据中位数相同的概率为（???）
A． B． C． D．
5．已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为（）
A． B． C． D．
6．已知，，则（????）
A． B． C． D．
7．高考是全国性统一考试，因考生体量很大，故高考成绩近似服从正态分布一般正态分布可以转化为标准正态分布，即若，令，则，且．已知选考物理考生总分的全省平均分为460分，该次考试的标准差为40，现从选考物理的考生中随机抽取30名考生成绩作进一步调研，记为这30名考生分数超过520分的人数，则（????）
参考数据：若，则，．
A．0.8743 B．0.1257 C．0.9332 D．0.0668
8．若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（???）
A． B． C．[3，5] D．
二、多选题
9．等差数列的前项和为，公差为，，则下列结论正确的是（）
A．若，则
B．若，则最小
C．
D．
10．若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可能是（）
A． B． C． D．
11．如图，在长方体中，为棱上一点，且，平面上一动点满足是该长方体外接球（长方体的所有顶点都在该球面上）上一点，设该外接球球心为，则下列结论正确的是（????）
A．长方体外接球的半径为
B．点到平面的距离为
C．球心到平面的距离为
D．点的轨迹在内的长度为
三、填空题
12．数学中有许多猜想，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5不是质数．现设（n∈N*），bn＝，则数列{bn}的前21项和为．
13．已知用斜二测画法画梯形OABC的直观图如图所示，，，，轴，，为的三等分点，则四边形OABC绕y轴旋转一周形成的空间几何体的体积为．
??
14．已知平面直角坐标系中，直线：，：，点为平面内一动点，过作交于，作交于，得到的平行四边形面积为1，记点的轨迹为曲线．若与圆有四个交点，则实数的取值范围是．
四、解答题
15．一学校办公楼共有10层，安装了两部电梯I和II.电梯运行方式如下：当某人在某层按键后，离他层距较小的电梯运行；当层距相同时，电梯I先运行.设电梯在每一层运行时间为a.现王老师在第4层准备乘电梯，设等待电梯的时间为随机变量.
(1)求：
(2)为了响应国家节能减排号召，学校决定只运行一部电梯.求运行两部电梯比运行一部电梯，王老师在第4层乘电梯平均节省的时间.
16．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求B的大小；
(2)若点M在线段上，，，求的最小值．
17．已知函数（e为自然对数的底数）．
（1）求函数的值域；
（2）若不等式对任意恒成立，求k的取值范围．
18．如图，在三棱柱中，底面是边长为1的正三角形，是的中点.
??
(1)直线与平面能否垂直？给出结论，并给予证明
(2)若二面角的平面角的余弦值为.
（i）求侧面的面积；
（ii）求与平面所成角的正弦值.
19．已知椭圆经过点．
(1)求的离心率．
(2)设，分别为的左、右顶点，，为上异于，的两动点，且直线的斜率恒为直线的斜率的5倍．
①当的值确定时，证明：直线过轴上的定点；
②按下面方法构造数列：当时，直线过的定点为，且，证明：
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《辽宁省沈阳市东北育才学校高中部2025届高三下学期适应性考试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
C
B
C
D
A
B
AD
ABD
题号
11
答案
ABD
1．D
【分析】根据子集的关系即可