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上海市杨浦区2024-2025学年高三下学期5月质量检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．不等式的解集为．
2．函数的最小正周期为．
3．已知，则的范围是．
4．在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，且所有项的系数之和为0，则含的项的系数为（用数字作答）．
5．中，，若在上的投影为．则．
6．已知数列满足，，求的通项公式；令当为单调递增数列时，实数的取值范围是
7．设，，则满足条件
8．已知三角形的，则三角形的面积的取值范围是．
9．某产品的质量指标服从正态分布.质量指标介于47至53之间的产品为合格品，为使这种产品的合格率达到99.74%，则需调整生产技能，使得至多为.（参考数据：若，则）
10．不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为.
11．已知，则直角三角形绕斜边旋转一周所形成的几何体的侧面积为.
12．若有唯一解，则的范围是
二、单选题
13．“”是“”的（）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分也非必要
14．如果分别是的对立事件，下列选项中不能判断件与事件相互独立的是（????）
A． B．
C． D．
15．已知点P为直线上的一点，过点P作圆的切线PA，切点为A，则的最大值为（????）
A． B． C． D．
16．已知函数与它的导函数的定义域均为，现有下述两个命题：
①“为严格增函数”是“为严格增函数”的必要非充分条件.
②“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件；
则说法正确的选项是（????）
A．命题①和②均为真命题 B．命题①为真命题，命题②为假命题
C．命题①为假命题，命题②为真命题 D．命题①和②均为假命题
三、解答题
17．已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点．
??
(1)求函数的解析式；
(2)若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围．
18．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，点E，F，G分别为PD，AB，AC的中点.
(1)求证：平面平面PBC；
(2)若，
（i）求点F到平面AEG的距离.
（ii）画出四边形ABCD的斜二测直观图，并求斜二测直观图面积
19．为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了“消费满减乐翻天”的优惠活动，顾客消费满800元（含800元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）
方案1：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元（即总共减650元）；
方案2：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球．中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠．
(1)顾客A选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率；
(2)顾客B恰好消费了800元，
①若他选择抽奖方案1，求他实付金额的分布列和期望（结果精确到0.01）；
②试从实付金额的期望值分析顾客B选择何种抽奖方案更合理．
20．已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为，，是面积为1的直角三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）.
(1)求椭圆的离心率；
(2)已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离；
(3)求四边形面积的取值范围.
21．已知函数.（其中为常数）
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的最小值；
(3)当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由.
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《上海市杨浦区2024-2025学年高三下学期5月质量检测数学试题》参考答案
题号
13
14
15
16
答案
D
C
A
C
1．或.
【分析】将分式不等式化成一元二次不等式，求解即得.
【详解】等价于，即，
解得或，即原不等式的解集为：或.
故答案为：或.
2．
【分析】利用求出最小正周期.
【详解】的最小正周期为.
故答案为：
3．
【分析】利用重要