初中数学精品讲义
相似三角形的性质
模块一思维导图串知识
模块二基础知识全梳理（吃透教材）
模块三核心考点举一反三
模块四小试牛刀过关测
1．明确相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系；
2．理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方；
3．掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用。
一、相似三角形的性质
1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
3.相似三角形周长的比等于相似比.
∽，则
由比例性质可得：
4.相似三角形面积的比等于相似比的平方.
∽，则分别作出与的高和，则
要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
考点一：利用相似三角形对应角相等求角
例1．（2023九年级上·广东茂名·竞赛）若，，，则．
【答案】/30度
【分析】此题主要考查了相似三角形的性质、三角形内角和定理等知识，根据三角形内角和定理求出的度数，再根据相似三角形的性质求出答案即可．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
【变式1-1】（23-24九年级上·贵州毕节·期末）两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角是、，那么另一个三角形的最大内角是度．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的性质，解答此题的关键是熟记相似三角形的对应角相等．利用三角形的内角和求出另外一个内角，再根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：一个三角形的两个内角是、，
另一个内角为：，
两个三角形相似，
另一个三角形的最大角是，
故答案为：．
【变式1-2】（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）已知，相似比为，若△ABC中的最大角是，则中的最大角为°．
【答案】110
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的对应角相等确定答案即可．
【详解】解：∵，相似比为，中的最大角是，
∴中的最大角为，
故答案为：110．
【变式1-3】（2024·重庆大渡口·一模）如图，，若，，则的大小为．
【答案】/40度
【分析】本题考查了三角形内角和定理，相似三角形的性质，由三角形内角和定理得到，由相似三角形的性质即可得到，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
考点二：利用相似三角形对应边成比例求边
例2.（2023·甘肃天水·模拟预测）已知，，若，则．
【答案】
【分析】此题主要考查相似三角形的性质，直接根据相似三角形的对应边成比例即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
，
∴，
．
故答案为：．
【变式2-1】（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，，且，，则．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，证明，得，从而即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴
解得，
故答案为：．
【变式2-2】（23-24九年级上·江苏连云港·期末）已知的三条边分别为、、，若的最短边为3，则最长边为．
【答案】5
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【详解】解：设最长边为x，
的三条边分别为、、，最短边为3，
，
解得，
即最长边为5，
故答案为：5．
【变式2-3】（23-24九年级上·四川达州·期中）已知中，，点D是线段的中点，点E在线段上且，则.
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形对应边的比相等．根据相似三角形对应边的比相等列式即可求解．
【详解】解：∵点D是线段的中点，
∴
∵
∴，
即，
解得．
故答案为．
考点三：利用相似三角形对应中线、高线、角平分线成比例
例3.（2024九年级·全国·竞赛）如果两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形对应中线的比为．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方．据此求解即可．
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为，
∴这两个三角形对应中线的比为．
故答案为：．
【变式3-1】（23-24九年级下·全国·课后作业）已知，和是它们的对应高线．若，，则与的相似比是．
【答案】/
【分析】本题考查相似三角形的性质，直接根据相似三角形对应高的比等于相似比即可解答，解题的关键是熟练