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河南省许昌市九师联盟2024-2025学年高三下学期5月信息卷（三）数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数z的共轭复数，则复数z在复平面内对应的点位于（???）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，，若，则a的取值范围是（???）
A． B． C． D．
3．已知向量，满足，，且，则的值为（???）
A．2 B． C．4 D．
4．已知，，，则（???）
A． B． C． D．
5．已知点，，点P是圆上的动点，则的最小值为（???）
A． B． C． D．
6．若，则被8整除的余数为（???）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于M，N两点，C在M，N两点处的切线相交于点P.则下列四个点中，可以为线段PF中点的是（???）
A． B． C． D．
8．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值是（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，则下列说法正确的是（???）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象向左平移个单位长度所得到的图象所对应的函数为偶函数
D．函数在区间上恰有4个零点
10．已知点P为双曲线右支上一点，，为的两条渐近线，过点P分别作，，垂足依次为，且，过点作交于点，过点P作交于点，为坐标原点，则下列说法正确的是（???）
A．的离心率为 B．
C．的面积为 D．
11．已知数列满足，，则下列说法正确的是（???）
A．为中的最小项
B．对任意的，，都有
C．存在，使得，，成等差数列
D．对任意的，，都有
三、填空题
12．某工厂月产品的总成本y（单位：万元）与月产量x（单位：万件）有如下一组数据，从散点图分析可知y与x线性相关.如果经验回归方程是，那么表格中数据m的值为.
x/万件
1
2
3
4
y/万元
4.8
m
7.4
9.2
13．已知，且满足，，则=.
14．如图，在三棱锥中，，，，，若，则三棱锥体积的最大值为.
四、解答题
15．已知各项均为正数的数列的前n项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
16．某公司为了庆祝公司成立二十周年，设计了一个“套圈游戏”，规则如下：每人3个套圈，向A，B两个目标投掷，先向目标A掷一次，套中得40元，没有套中得0元，再向目标B连续掷两次，每套中一次得80元，没套中得0元，根据累计金额发放红包.已知小胡每投掷一次，套中目标A的概率为，套中目标B的概率为，假设小胡每次投掷的结果相互独立.
(1)求小胡至少套中1次的概率；
(2)记小胡的累计金额为随机变量X，求X的分布列和数学期望.
17．如图，在四棱锥中，，，，为等边三角形，直线PA与平面ABCD所成角的大小为，点E是棱PB上的一点（不包含端点）.
(1)求证：平面平面PBD；
(2)若二面角的余弦值为，求线段PE的长.
18．已知椭圆的右焦点为，点是E上的一点.
(1)求E的方程；
(2)若E与x轴的两个交点分别为和（点在的左边），M，N是E上异于，的两点.
（i）若直线MN过点F，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由；
（ii）已知直线MN不过坐标原点O，且不与坐标轴平行，点M关于原点O的对称点为，若直线与直线相交于点S，直线OS与直线MN相交于点T，求的最小值.
19．对于函数，和，，设，若对任意的，，都有成立，则称函数与“具有性质”.
(1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由；
(2)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证：；
(3)已知函数，，，求证：函数与“具有性质”.
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《河南省许昌市九师联盟2024-2025学年高三下学期5月信息卷（三）数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
D
B
C
A
C
AC
ABD
题号
11
答案
ABD
1．A
【分析】根据复数的除法及乘法运算可求复数，再利用复数的基本概念及几何性质可求.
【详解】，故，在复平面内对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
2．D
【分析】根