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云南省昆明市云南民族中学2025届高三下学期4月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，如果有且只有两个元素，则实数的取值范围为（????）
A． B． C． D．
2．下列选项中，p是q的充要条件的是（???）
A．p：或，q：两条直线与平行
B．p：直线与曲线有两个不同交点，
C．在圆外部，
D．p：直线与圆相离，
3．如果复数的实部和虚部互为相反数，则的值等于
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，若，则的离心率为（????）
A． B． C． D．
5．已知，则（????）
A． B． C． D．
6．已知且，若函数的值域为，则实数的取值范围为（????）
A． B． C． D．
7．铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示.若图中正方形的边长为，圆的半径为，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，且，则的最大值为（???）
A． B． C． D．
8．哈希表（HashTable）是一种利用键值的映射关系，将数据存储在特定位置的数据结构.常用的方法之一是“除留余数法”.例如，当除数为时，键值为的数据因余，应存放于位置中，从而可直接依据键值快速定位数据位置，多个数据可映射到同一位置（如键值和均映射到同一位置）.现有一个容量为个位置（编号）的哈希表，以除留余数法（除数为）进行映射，需要存储个数据.设这个位置存放的数据个数分别为、、、、、、，则下列说法中正确的是（????）
A．至少有个位置存放了不少于个数据
B．若这个数据的键值恰好是间的所有奇数，则的中位数为
C．若的方差为，则的最小值为，最大值为
D．若的极差为，则最多有个位置没有存放数据
二、多选题
9．函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，且函数图象与函数图象有相同的对称中心，则（????）
A．
B．函数的图象关于直线对称
C．在区间上存在函数图象的个对称中心
D．若函数在区间上单调递增，则
10．已知函数，下列说法正确的有（????）
A．存在实数使得为偶函数
B．的导函数满足
C．函数存在两个极小值点
D．方程存在个不同的实根且
11．通信工程中常用元数组表示信息，其中或．设表示和中相对应的元素（对应，）不同的个数，则下列结论正确的是（????）
A．若，则存在5个5元数组，使得
B．若，则存在12个5元数组，使得
C．若元数组，则
D．若元数组，则
三、填空题
12．某同学收集了第一届全国学生（青年）运动会吉祥物“壮壮”和“美美”的卡片各一张，第19届亚运会吉祥物“宸宸”“琮琮”和“莲莲”的卡片各一张.现该同学准备将这5张卡片贴在墙上，若将“壮壮”和“美美”的卡片贴在“宸宸”和“莲莲”之间，则不同的贴法种数为.（用数字作答）
13．已知圆锥的母线长为5cm，底面半径为cm，一只蚂蚁欲从圆锥的底面圆周上的点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点.则蚂蚁爬行的最短路程长为cm
14．已知，则的最小值为.
四、解答题
15．在中，角，，的对边分别为，，．且满足．
(1)求角的大小；
(2)若的面积，内切圆的半径为，求；
(3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值．
16．人工智能（简称）的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业.某公司推出的软件主要有四项功能：“视频创作”、“图像修复”、“语言翻译”、“智绘设计”.为了解某地区大学生对这款软件的使用情况，从该地区随机抽取了名大学生，统计他们最喜爱使用的软件功能（每人只能选一项），统计结果如下：
软件功能
视频创作
图像修复
语言翻译
智绘设计
大学生人数
假设大学生对软件的喜爱倾向互不影响.
(1)从该地区的大学生中随机抽取人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率；
(2)采用分层抽样的方式先从名大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，求的分布列和数学期望；
(3)从该地区的大学生中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，的方差记作，（2）中的方差记作，比较与的大小.
（结论不要求证明）
17．如图所示，在四面体中，平面，是的中点，分别在线段上，且，．
(1)求证：平面；
(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值．
18．设，定义为的“函数”.
(1)设为的“函数”，若，，求曲线在点处的切线方程；
(2)设为的“函数”.
（ⅰ）若是的极小值点，求的取值范