基于整体性视角的数学教材例、习题研究
摘要：基于整体性视角研究教材例、习题的编制特点，教师可从题型、知识类型和数学基本思想三个维度对其进行数量统计分析，并根据相关理论构建知识类型框架与数学基本思想框架.教师要充分重视例、习题在引导学生挖掘数学知识的内在联系、培养学生看待问题的整体意识、启发学生数学学习的思维迁移、诊断学生数学学习的效果等方面的作用.对待具体内容如“函数”，教师要总结出其例、习题编制的整体性特征，即均衡“信息”和“智能”意义、偏重程序性知识的联系，重视数学基本思想的渗透、匹配学生的数学认知发展，加强数学内容的内在联系、搭建“横向关联”的内容结构，从而得出教材编写和教学应用的启示.
关键词：教材例、习题研究；整体性视角；初中数学
数学的学科特点决定了研究数学必然要触及数学问题，而教材中的例、习题是数学问题的主要表现方式之一，因此国内外都极重视对其进行研究，有的对其难度作比较研究，有的对其核心素养表现进行研究，有的依据其特征对其进行分类研究.而基于整体性视角研究教材例、习题的编制特点，有助于更好地发挥例、习题的作用.数学教学必须注重整体性，这是由数学的学科特点决定的.这种整体性，既体现在数学概念及其反映的数学思想方法的一体性上，又体现在各部分内容的有机联系上［1］.在看待某个事物时，不应将其分离成各个“碎片”逐一进行研究，而应将其看成一个完整的整体加以研究和考察，并使整体结构朝着优化的方向发展［2］.下面，笔者基于整体性视角，分析数学教材“函数”内容例、习题编制的整体性作用及特征，以期为初中数学教材的编写与使用提供一些思考.
一、教材例、习题的整体性研究解析
（一）研究问题
笔者主要关注以下两个问题：（1）整体性视角下，教材例、习题的作用体现在哪几个方面？（2）教材例、习题编制在题型、知识类型和数学基本思想三个维度上具有怎样的整体性特征？
（二）研究对象
笔者选取的教材为浙教版义务教育教科书《数学》八年级上册与下册以及九年级上册（下文分别简称为“八上”“八下”“九上”），研究对象是三本教材“函数”内容（八上第5章、八下第6章、九上第1章）的例、习题，例题的范围为其中出现的所有“例题”，习题的范围为其中的“课内练习”“作业题”“目标与评定”.
（三）研究方法
笔者运用文本分析法，编码统计“一次函数”“反比例函数”“二次函数”三章内容的例、习题数量，归纳例、习题编制的整体性特征，分析数学教材例、习题整体性作用的四个方面，从而获得启示.
（四）研究框架
笔者主要从题型、知识类型和数学基本思想三个维度对例、习题进行数量统计分析.知识类型的分类依据是王光生的知识二维分类模式［3］，以此构建如表1所示的框架.数学基本思想的研究采用史宁中对数学基本思想的分类与内涵说明［4］，以此构建如表2所示的框架.
编码主要由三位数学教育专业的硕士研究生独立进行，并多次进行线上、线下讨论，同时请教富有经验的一线教师、数学教育专家以达成共识，所用编码均为具体的知识类型或数学基本思想的英文首字母.下面以八上第173页“目标与评定”中的第16题（此处略）为例，进一步说明如何对体现不同知识类型、不同数学基本思想的例、习题进行统计.
第（1）小题求函数的表达式，解答过程中主要涉及一次函数的定义，因此只有信息意义，同时需要按照一定的步骤解决问题，故属于联结—程序性知识.此外，从情境问题中抽象出总费用与A种笔记本的数量关系，体现了抽象思想.
第（2）小题对最少费用的判断，需要借助一次函数的性质进行较为复杂的逻辑运算，故属于运算—程序性知识.同时利用函数的性质解决实际生活中的问题，体现了模型思想.在整个过程中，从一般的函数表达式推出特定的最少费用属于从一般到特殊，体现了推理思想.
故16题第（1）小题可编码为CP、A，第（2）小题可编码为OP、I和M.
二、教材例、习题的整体性作用分析
教材例、习题具有重要的教学价值.吴立宝等人提出习题具有“七功能”，分别是巩固强化新知、拓展延伸新知、综合应用新知、思维能力训练、思想方法渗透、诊断反馈补救以及育人功能［5］，例题具有巩固新知、解题示范、揭示思想方法、育人四个功能［6］.受此启发，笔者基于整体性视角，发现例、习题在四个方面有着重要的作用，具体如下.
（一）引导学生挖掘数学知识的内在联系
例、习题编制的整体性特质不拘泥于单个章节的限制，挖掘数学知识的内在联系，是帮助学生理解数学横纵向知识结构的关键［7］.例如，反比例函数中的思想方法与正比例函数等是一致的，教师可引导学生挖掘它们的联系，思考数学知识的源头、发展和去向.
（二）培养学生看待问题的整体意识
从整体性视角看待数学问题的解决，有助于培养学生看待事物结构与发展的整体意识，不但能使学生正确理解数学问题的“局部”特征，也能培养学生看待数学问题间联系与发展的大局