数学解题教学要从“解题”转向“问题解决”
摘要：侧重掌握程序化、规律性的解题套路的“解题”无法适应社会发展的需求，因此，数学解题教学的重心需要从“解题”向“问题解决”转变.“问题解决”是一个更广泛的过程，它不仅包括解题，还包括运用其他更加实际和综合的方法，二者的差异主要表现在目标导向、知识需求和创造性上的不同.在侧重“问题解决”的数学解题教学中，教师可引导学生开展数学阅读以深入理解问题实质，回顾已有经验以探求可能的方法，经历试误过程以实施问题解决计划，优化解题过程以拓展数学结论，反思问题解决的过程以理解问题的本质.
关键词：解题；问题解决；数学解题教学
解题教学是数学教学的重要组成部分，它在促进学生数学思维的发展上具有不可替代的作用.“就题论题”与“以题论法”是当前数学解题教学中最流行的两种形式.“就题论题”以解答题目为主要任务，以获得正确答案为最终目标，答案获得后，该题任务结束，然后转向下一题，它能在短期内迅速提升学生的解题能力；“以题论法”指通过题目来讲解题方法，它在解题方法的积累与解题策略的形成上具有天然优势［1］.这两种方式的搭配使用构成了当前数学解题教学的主流.不管是“就题论题”还是“以题论法”，它们遵循的都是以“解题”（从具体的题目出发，就题论题、以题论法，侧重解题套路）为中心的教学观，关注的对象都是“题”，传授的也都是“算法化”的“解题套路”.虽然在处理结构常规、情境熟悉、思路明确的题目时，它们能让学生游刃有余，但在处理情境复杂、数量关系隐蔽、表达抽象的问题时，它们则很可能让学生束手无策.2024年高考数学新课标Ⅰ卷第19题（以下简称“第19题”）就是很好的例证，题目如下.
设[m]为正整数，数列[a1]，[a2]，[…]，[a4m+2]是公差不为[0]的等差数列，若从中删去两项[ai]和[aj][（ilt;j）]后剩余的[4m]项可被平均分为[m]组，且每组的[4]个数都能构成等差数列，则称数列[a1]，[a2]，[…]，[a4m+2]是[（i]，[j）]-可分数列．
（1）写出所有的[（i]，[j）]，[1≤ilt;j≤6]，使得数列[a1]，[a2]，[…]，[a6]是[（i]，[j）]-可分数列；
（2）当[m≥3]时，证明：数列[a1]，[a2]，[…]，[a4m+2]是（2，13）-可分数列；
（3）从1，2，…，[4m+2]中一次任取两个数[i]和[j][（ilt;j）]，记数列[a1]，[a2]，[…]，[a4m+2]是[（i]，[j）]-可分数列的概率为[Pm]，证明：[Pmgt;18].
一、“解题”已经无法适应社会发展的需求
当下，“解题”的重心全部放在对程序化、规律性的解题套路的掌握上，而忽视了对学生主动获取知识与自主探究等能力的培养.社会的进步要求人们具有现代化的数学素养，具有发现、提取、分析和处理信息的能力.从这个角度来看，“解题”是不适应现代社会所必需的收集处理信息数据、发现和提出问题、合情推理，以及估计意识、应用意识、运筹和优化意识、创新意识等各种能力培养的要求，更不利于创新拔尖人才的培养［2］.例如，面对“第19题”这样的题目，很多学生直呼“看不懂，不会做”.不可否认，题目中的抽象表述会对审题造成一定的干扰，但此题不考查“具体知识与技能”及找不到可以套用的模式才是学生“不会做”的根本原因.当然，有数学竞赛经历的学生还是能够给出“完美”的解题过程，具体如下.
第（1）问的答案为（1，2），（1，6），（5，6）.
第（2）问，显然，若[ai1]，[ai2]，[ai3]成等差数列，则[i1]，[i2]，[i3]也成等差数列.不妨设原数列为A：1，2，…，[4m+2]，则删去2与13后，前12项按mod3同余分组，即（1，4，7，10）（3，6，9，12）（5，8，11，14），后[4（m-3）]项按顺序4项一组，便可证明数列[a1]，[a2]，[…]，[a4m+2]是（2，13）-可分数列.
第（3）问，若[0≤n≤k≤m]，A删除[4n+1]和[4k+2]后，前[4n]项、中间的[4（k-n）]项、后面的[4（m-k）]项按顺序4项一组，便知A是[（4n+1]，[4k+2）]-可分数列.若[0≤n≤k≤m]且[n-k≥2]，A删除[4k+2]和[4n+1]后，前[4k]、后[4（m-n）]项按顺序4项一组，而中间[4（n-k）]项按[mod（n-k）]同余分组，便可知A是[（4k+2]，[4n+1）]-可分数列.因为A中[4n+1]和[4k+2]型的项各有[m+1]个，满足[0≤n≤k≤m]且[n-k=1]的整数对[（n-k）]有[m]个，所以有[Pm≥（m+1）2-mC24m+2gt;m2+34m+18m2+6m+1=18].
按照一些竞赛专家的说法，此题设计新颖，属组合数论