初中数学
实数（知识归纳+题型突破）
1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.
3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.
4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
知识点一：平方根和立方根
类型
项目
平方根
立方根
被开方数
非负数
任意实数
符号表示
性质
一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零；
重要结论
知识点二：实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：按与0的大小关系分：
实数实数
特别说明：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.
（4）实数和数轴上点是一一对应的.
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即().
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4.实数的运算：
数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较：
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
【题型一无理数的识别】
例题：在实数0、、、、、（相邻两个1之间有1个0）中，无理数的个数有（????）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】解：∵
∴，是无理数，共2个，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，立方根，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
【变式训练】
1．在实数（每两个1之间多一个0）中，无理数的个数有（????????????）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】
【分析】
无限不循环小数叫做无理数，根据无理数的概念进行判断即可．
【详解】
由无理数的概念知：π，，0.010010001…（每两个1之间多一个0）这三个数是无理数．
故选：B．
【点睛】
本题考查了无理数的概念，一般地：π与有理数的和、差、积（0除外）、商（0除外）的运算结果仍是无理数；开不尽方的数是无理数；形如0.010010001…（每两个1之间多一个0）的一类数也是无理数．
2．在，，，，，，，，（两个“”之间依次多一个“”）中，无理数的个数是（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：在，，，，，，，，（两个“”之间依次多一个“”）中，
，，，，，是有理数，
，，（两个“”之间依次多一个“”）是无理数，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数、无理数的概念，求一个数的立方根．以下几类无理数应知道：或含有的式子；开不尽方的数以及它们与有理数的和、差、积、商也都是无理数；还有如（每两个之间依次多一个）这样的数也是无理数．
【题型二实数的分类】