分别按以上三种形式建立迭代公式，并取x0=1进行迭代计算，结果如下：解对方程进行如下三种变形：例3用迭代法求方程x4+2x2-x-3=0在区间[1,1.2]内的实根.第31页，共86页，星期日，2025年，2月5日准确根x*=1.124123029,可见迭代公式不同,收敛情况也不同.第二种公式比第一种公式收敛快得多,而第三种公式不收敛.第32页，共86页，星期日，2025年，2月5日例3表明原方程化为x=?(x)的形式不同，有的收敛，有的不收敛，有的发散，只有收敛的的迭代过程xk+1=?(xk)(k=0,1,2,?)才有意义，为此我们首先要研究?(x)的不定点的存在性及迭代法xk+1=?(xk)的收敛性.第33页，共86页，星期日，2025年，2月5日3.2.3不动点的存在性与迭代法的收敛性首先考察?(x)在[a,b]上不动点的存在唯一性.定理1设?(x)∈C[a,b]满足以下两个条件：1o对任意x∈[a,b]有a≤?(x)≤b.2o存在正数L1，使对任意x,y∈[a,b]都有则?(x)在[a,b]上存在唯一的不动点x*.证明先证不动点的存在性.若?(a)=a或?(b)=b，显然?(x)在[a,b]上存在不动点.因为a≤?(x)≤b，以下设?(a)a及?(b)b定义函数第34页，共86页，星期日，2025年，2月5日显然f(x)∈C[a,b],且满足f(a)=?(a)-a0,f(b)=?(b)-b0,由连续函数性质可知存在x*∈(a,b)使f(x*)=0，即x*=?(x*)，x*即为?(x)的不动点.再证不动点的唯一性.设x1*,x2*∈[a,b]都是?(x)的不动点，则由(3.2.3)得引出矛盾，故?(x)的不动点只能是唯一的.证毕.在?(x)的不动点存在唯一的情况下，可得到迭代法xk+1=?(xk)收敛的一个充分条件.第35页，共86页，星期日，2025年，2月5日定理2设?(x)∈C[a,b]满足定理1中的两个条件，则对任意x0∈[a,b]，由xk+1=?(xk)得到的迭代序列{xk}收敛到的不动点x*，并有误差估计式证明设x*∈[a,b]是?(x)在[a,b]上的唯一不动点,由条件1o，可知{xk}∈[a,b]，再由(3.2.3)得因0L1，故当k→∞时序列{xk}收敛到x*.第36页，共86页，星期日，2025年，2月5日下面证明估计式(3.2.4)，由(3.2.3)有于是对任意正整数p有上述令p→∞,注意到limxk+p=x*(p→∞)即得(3.2.4)式.第37页，共86页，星期日，2025年，2月5日又由于对任意正整数p有上述令p→∞,及limxk+p=x*(p→∞)即得(3.2.5)式.证毕.迭代过程是个极限过程.在用迭代法进行时，必须按精度要求控制迭代次数.误差估计式(3.2.4)原则上确定迭代次数，但它由于含有信息L而不便于实际应用.而误差估计式(3.2.5)是实用的，只要相邻两次计算结果的偏差足够小即可保证近似值xk具有足够精度.第38页，共86页，星期日，2025年，2月5日对定理1中的条件2o可以改为导数，即在使用时如果?(x)∈C[a,b]且对任意x∈[a,b]有则由微分中值定理可知对任意x,y∈[a,b]有故定理1中的条件2o是成立的.第39页，共86页，星期日，2025年，2月5日例如，在前面例3中采用的三种迭代公式，在隔根区间(1,1.2)内，有故前两个迭代公式收敛，第三个迭代公式不收敛.第40页，共86页，星期日，2025年，2月5日例4：求方程在内的根。解：原方程可以等价变形为下列三个迭代格式第41页，共86页，星期日，2025年，2月5日由迭代格式（1）取初值得结果是发散的？！第42页，共86页，星期日，2025年，2月5日由迭代格式（2）取初值得结果精确到四位有效数字，迭代到得到收敛结果。第43页，共86页，星期日，2025年，2月5日由迭代格式（3）取初值得结果精确到四位有效数字，迭代到得到收敛结果。四步就能得到收敛的结果了！第44页，共86页，星期日，2025