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龙岩一中2024届高一下第二次月考
数学试题参考答案
一、单项选择题：1.B2.??A?3.??B?4．?C???5.B6.C7.B8．B
二、多项选择题：9.AD10．?CD???11.???AD??12．?ABD???
12.解:对于A，根据题意，图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，故，，所以这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形，故A正确；
对于B，由题知，在中，，，，所以，所以由正弦定理得
解得，因为，所以，故B正确；
对于C，不妨设，所以在中，由余弦定理得，代入数据得，所以，所以，故C错误；
对于D，若是的中点，则，
所以，故D正确.故选：ABD
三?填空题：13.__(－3,1)∪(1，＋∞)___;14．___;15．______;16.______．
16.解：设∠ABC=，∠ACB=，则，
由正弦定理可得，
所以，
，故时，取得最大值．
四、解答题：
17．（本小题满分10分）
解：（1）设，由为实数，
，， 1分
可得， 3分
由为实数，可得，
； 5分
（2），
复数在复平面内对应的点位于第四象限， 6分
，解得或． 10分
18．（本小题满分12分）
设，，①，且，若，得，②，联立①②，解得，
，即. 6分
（2），，且，若与的夹角为，，
. 12分
19．（本小题满分12分）
解：(1)在中，
，根据余弦定理得：.
.
所以小岛A到小岛C的最短距离是海里.
(2)解：(2)根据正弦定理得：
解得
在中，
为锐角
.
由得游船应该沿北偏东的方向航行
答:小岛A到小岛C的最短距离是海里;游船应该沿北偏东的方向航行.
20.（本小题满分12分）
解:（1）.
因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得=k，
即，得. 2分
因为是平面内两个不共线的非零向量，所以解得.（4分）
（2）=． 7分
（3）因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以. 9分
设A(x，y)，则，
因为,所以解得,即点A的坐标为(10，7)．12分
21.解：(1)由题设及A＋B＋C＝π得sinB＝8sin2eq\f(B,2)，故sinB＝4(1－cosB)．
上式两边平方，整理得17cos2B－32cosB＋15＝0，
解得cosB＝1(舍去)，cosB＝eq\f(15,17). 6分
(2)由cosB＝eq\f(15,17)得sinB＝eq\f(8,17)，故S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(4,17)ac.又S△ABC＝2，则ac＝eq\f(17,2).
由余弦定理及a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)
＝36－2×eq\f(17,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(15,17)))＝4.所以b＝2. 12分
（本小题满分12分）
解：（1）因为，，，
所以，即，
解得，所以． 4分
（2）设，，则，
在中，由正弦定理得：，故；
在中，，所以．
即，化简得：， 8分
所以，所以，，
所以在中，．
即，解得或（舍）．12分