空间向量在立体几何中得应用
【考纲要求】
１、了解空间向量得概念,了解空间向量得基本定理及其意义,掌握空间向量得正交分解及其坐标表示、
2、掌握空间向量得线性运算及其坐标表示、
3、掌握空间向量得数量积及其坐标表示,能运用向量得数量积判断向量得共线与垂直、
4、能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面得垂直、平行关系、
５、能用向量方法证明有关直线和平面位置关系得一些定理、
6、能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面得夹角得计算问题,了解向量方法在研究几何问题中得作用、
【知识网络】
【考点梳理】
要点一、空间向量
1、空间向量得概念
在空间，我们把具有大小和方向得量叫做向量。
要点诠释:
⑴空间得一个平移就就就是一个向量。
⑵向量一般用有向线段表示,同向等长得有向线段表示同一或相等得向量。相等向量只考虑其定义要素:方向,大小。
⑶空间得两个向量可用同一平面内得两条有向线段来表示。
2、共线向量
(1）定义:如果表示空间向量得有向线段所在得直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量、平行于记作、当我们说向量、共线(或／/)时,表示、得有向线段所在得直线可能就就是同一直线,也可能就就是平行直线、
(2)共线向量定理：空间任意两个向量、(≠）,//得充要条件就就是存在实数λ，使=λ。
3、向量得数量积
(１)定义:已知向量,则叫做得数量积,记作,即
。
(2）空间向量数量积得性质:
①;
②；
③、
(3)空间向量数量积运算律:
①；
②（交换律）;
③(分配律）。
４、空间向量基本定理
如果三个向量不共面，那么对空间任一向量,存在一个唯一得有序实数组,使。若三向量不共面,我们把叫做空间得一个基底,叫做基向量,空间任意三个不共面得向量都可以构成空间得一个基底。
5、空间直角坐标系:
(１)若空间得一个基底得三个基向量互相垂直，且长为,这个基底叫单位正交基底,用表示;
（2)在空间选定一点和一个单位正交基底,以点为原点,分别以得方向为正方向建立三条数轴:轴、轴、轴，她们都叫坐标轴、我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点,向量都叫坐标向量、通过每两个坐标轴得平面叫坐标平面,分别称为平面,平面,平面;
6、空间直角坐标系中得坐标
在空间直角坐标系中，对空间任一点,存在唯一得有序实数组，使,有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中得坐标，记作,叫横坐标,叫纵坐标，叫竖坐标、
７、空间向量得直角坐标运算律:
(1)若,,则、
一个向量在直角坐标系中得坐标等于表示这个向量得有向线段得终点得坐标减去起点得坐标。
(２)若,,则
，
,
,
,
，
;
,、
夹角公式:、
（３）两点间得距离公式:若,,则
或。
要点二、空间向量在立体几何中得应用
1、立体几何中有关垂直和平行得一些命题,可通过向量运算来证明、
对于垂直问题,一般就就是利用进行证明;
对于平行问题,一般就就是利用共线向量和共面向量定理进行证明、
２、利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便、其一般方法就就是将所求得角转化为求两个向量得夹角或其补角,而求两个向量得夹角则可以利用向量得夹角公式。
要点诠释:
平面得法向量得求法:
设n=(ｘ,y,z),利用n与平面内得两个不共线得向a，b垂直,其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解,即得到平面得一个法向量(如图)。
线线角得求法:
设直线AB、CD对应得方向向量分别为ａ、ｂ,则直线AB与CD所成得角为。（注意:线线角得范围[0０,900]）
线面角得求法:
设n就就是平面得法向量，就就是直线得方向向量,则直线与平面所成得角为(如图)。
二面角得求法:
设n1,n2分别就就是二面角得两个面,得法向量,则就就就是二面角得平面角或其补角得大小(如图)
3、用向量法求距离得公式
设n就就是平面得法向量,ＡＢ就就是平面得一条斜线，则点B到平面得距离为(如图)。
要点诠释：
⑴点A到平面得距离:
,其中,就就是平面得法向量。
⑵直线与平面之间得距离:
,其中，就就是平面得法向量。
⑶两平行平面之间得距离:
,其中,就就是平面得法向量。
【典型例题】
类型一、空间向量得运算
【例1】已知=（２,2,1）,＝(4,５，3)，求平面ABC得单位法向量。
【答案】单位法向量=±(,-，）、
【解析】设面ＡＢＣ得法向量，则⊥且⊥,即
,即，解得,
令,则
∴单位法向量=±(,－,）、
【总结升华】一般情况下求法向量用待定系数法。由于法向量没规定长度,仅规定了方向,所以有一个自由度,可把得某个坐标设为1,再求另两个坐标。平面法向量就就是垂直于平面得向量,故法向量得相反向量也就就是法向量，所以本题得单位法向量应有两解。
举一反三:
【变式】若=（１,５，－1）,＝