高级中学名校试卷
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河南省新乡市2025届高三第二次模拟考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】.
故选：A.
2（）
A.16 B. C.32 D.
【答案】A
【解析】由.
故选：A
3.曲线的长度为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，得，
所以曲线是以坐标原点为圆心，2为半径的圆弧，
其中点的横坐标为，则，，
故曲线的长度为.
4.已知，都是非零向量，定义新运算，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，则，则或.
当时，未必成立；
当时，.
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
5.曲率是用于描述曲线在某一点处弯曲程度的量，对于平面曲线，其曲率（是的导数，是的导数），曲率半径是曲率的倒数，其表示与曲线在某点处具有相同弯曲程度圆的半径.已知质点以恒定速率沿曲率半径为的曲线作曲线运动时，向心加速度的大小为.若该质点以恒定速率沿形状满足的光滑轨道运动，则其在点处的向心加速度的大小为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，则，，所以，，
则曲线在点处曲率，曲率半径，
故曲线在点处的向心加速度的大小为.
故选：B.
6.若为双曲线：上异于，的动点，且直线与的斜率之积为5，则的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，则，即，
则，则，故的渐近线方程为.
故选：C
7.已知随机变量，，则的最大值为（）
A.9 B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，
所以.
由正态分布的对称性，可得.
因为，
所以，当且仅当，即，时，等号成立，
即最大值为.
故选：D
8.设是关于的方程的一个实根，其中为常数，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设，则，
，
整理得，故.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（）
A. B.的最小正周期为
C.的图象关于点对称 D.的图象关于直线对称
【答案】ACD
【解析】依题意可得，
因为，故A正确；
，故B错误；
由，可知点为对称中心，由，可知在处取最小值，故C，D均正确.
故选：ACD
10.已知为曲线：上一点，，，，点到直线：，：，：的距离分别为，，，则（）
A.存在无数个点，使得
B.存在无数个点，使得
C.存在无数个点，使得
D.仅存在一个点，使得且
【答案】BC
【解析】由，得，得或.
是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，故曲线上不存在无数个点，使得，
是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，故有无数个点，
是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，故有无数个点，
联立与，得，或，所以仅存在两个点，使得且，
所以A、D错误，B，C正确.
故选：BC
11.已知函数的定义域为，，，则（）
A. B.是增函数
C. D.
【答案】ACD
【解析】令，则，解得，故A正确；
令，，则，故B错误；
由，可得，
令，，则，即，
所以，故，
则，故C正确；
因为，
所以，
两式相减，可得，
故，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若分别为奇函数、偶函数，，且，则______.
【答案】4
【解析】依题意得，又，解得，，
所以.
故答案为：4
13.已知是等差数列的前项和，数列的公差为，且是等差数列，则______.
【答案】
【解析】由题意，，
所以，
因为是等差数列，则的通项是一次函数型，
则能整理成完全平方型，
所以，
化简得，所以，即.
故答案为：.
14.一个整数的各位数字之和记为，例如.用0，1，4，6，7，8组成的无重复数字的四位数按照从小到大的顺序排列为，则______，的平均数为______.
【答案】①.8761②.
【解析】用0，1，4，6，7，8组成的无重复数字的四位数的总个数为，
其中最大的四位数为8764，所以.
四位数含0时，后三位选一位填0有种，再选一位填1（同理填4，6，7，8）有种，最后从余下的4个数字选2个填余下的两位有种，
所以1，4，6，7，8出现的次数均为次，
四位数不含0时，四位选一位填1（同理填4