高级中学名校试卷
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河北省2025届高三下学期省级联考模拟数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意，集合，所以.
故选：A
2.复数，则（）
A.1 B.2 C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，，
所以，
故选：C.
3.已知向量，，，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，，若，则，所以.
故选：D
4.某班有，，，，五名同学要排成一排进行拍照，其中同学不站在两端，，两名同学相邻，则不同的排列方式种数为（）
A.12 B.24 C.36 D.48
【答案】B
【解析】根据题意，因为，两名同学相邻，所以有种，
又因为同学不站在两端，所以有种，其他同学（看做一个整体）进行排列有种，
所以不同的排列方式种数为.
故选：B.
5.已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为（）
A. B.或 C. D.或
【答案】D
【解析】根据题意，双曲线的渐近线方程为，
因为该双曲线两渐近线的夹角为，所以直线的倾斜角为或，
若直线的倾斜角为，则，
此时；
若直线的倾斜角为，则，
此时.
综上所示，该双曲线的离心率为或.
故选：D.
6.函数在上的值域为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意，，
根据倍角公式可得，
令，因为，则，可得，
故选：A.
7.已知正四棱锥中，，若此正四棱锥的外接球为球，则侧面所在平面被球所截的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，取底面的中心为，可得平面，
又因为，可得，所以正四棱锥的外接球为以为球心，
以为半径的球，设到平面的距离为，由，
可得，解得，
设侧面所在平面被球所截的圆的半径为，则，
所以，所以该截面面积为，
故选：B.
8.若函数与的图象有且只有一个公共点，则称与互为“粘合函数”.已知曲线关于直线对称的曲线为，且与互为“粘合函数”，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】已知曲线关于直线对称的曲线为，所以这两个函数互为反函数，所以，所以，
又因为与函数为“粘合函数”，所以方程有且只有一个解，
当时，显然不成立；
当时，则，记，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
当时，；当时，；当时，；时，，且，则的图象如图所示，
数形结合易知实数的取值范围为，
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知一组数据，，，…，满足，若此组数据去掉，，则与之前数据相比，一定会减小的是（）
A.平均数 B.标准差 C.中位数 D.极差
【答案】BD
【解析】根据题意，若平均数，则平均数不变，故选项A不正确；
标准差一定变小，故选项B正确；
中位数一定不变，故选项C不正确；
因为极差为最大值与最小值的差，所以极差一定会变小，故选项D正确，
故选:BD.
10.已知抛物线的焦点为，点在此抛物线上，则下列结论正确的是（）
A.
B.若直线与抛物线有另一个交点为，则
C.已知点，点为抛物线上的点，当取最大值时，
D.已知点，点为抛物线上的点，当直线与抛物线相切时，的内切圆的面积为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为点在抛物线上，所以，所以，故A正确；
对于B，点，直线的斜率为，
所以直线的方程为，
联立，可得，计算可得，，
所以可得，所以，故B正确；
对于C，分析可得，抛物线的准线为，
当点在原点时，不是最大值，
当点不在原点时，过点作，垂足为，
在中，，所以，
所以当取最小值时，取最大值，此时直线与抛物线相切，
设过点的直线与抛物线相切，
代入抛物线方程得，
得，解得，
即，解得，
把代入得，
所以或，所以，故C不正确；
对于D，根据C选项，可得，当时，
的面积，的周长，
所以的内切圆的半径为，所
以内切圆的面积为，故D正确.
故选：ABD.
11.已知直四棱柱中，所有棱长均为2，，点，，，分别为，，，的中点，则下列结论正确的是（）
A.
B.若点在上运动，则三棱锥的体积不变
C.异面直线与所成的角的余弦值为
D.平面被直四棱柱所截的多边形周长为
【答案】BCD
【解析】对于A，因为直四棱柱中，底面为边长为2的菱形，，
所以平面，可得，所以不正确，故A不正确；
对于B，连接，，易得，平面，所以平行于平面，
同理有，则平行于平面.