高级中学名校试卷
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河北省承德市四县联考2025届高三上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由得，
函数有意义满足，即，
解得：，
所以，
故选：D
2.已知为虚数单位，复数z满足，则（）
A. B.2 C. D.1
【答案】C
【解析】由，得，
.
故选:．
3.已知是公差为的等差数列，且，则（）
A.3 B.9 C.18 D.24
【答案】B
【解析】因为是公差为的等差数列，，
所以，
故选：B.
4.已知函数，则（）
A. B.1516 C. D.1517
【答案】D
【解析】由题意，在中，
因为当时，，所以是以为周期的周期函数，
故，
，
所以.
故选：D.
5.已知、是过抛物线的焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】易知点，设直线的方程为，设点、，
联立，消去可得，，
由韦达定理可得，，
，，因为，则，
所以，，可得，，可得，
，而，
所以，，解得.
故选：D.
6.如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数、、、的图形．图中四边形的对角线相交于点，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】延长、交于点，取的中点，连接，
易知为等腰直角三角形，则，，
所以，，，，
故为等腰直角三角形，且，则，
因为、分别为、的中点，则，且，
所以，，故.
故选：B.
7.已知四棱锥，，平分，点在上且满足，则三棱锥的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，设点到平面的距离为，到平面的距离为，
则有，
而，，
又由，，平分，则，
则；
故，而，
则有，
又由点在上且满足，故到平面的距离为，
则有，
故．
故选：B．
8.已知函数的定义域是，且满足，（其中为自然常数，），则下列说法正确的是（）
A.在上单调递增 B.在上单调递减
C.在上有极大值 D.在上有极小值
【答案】B
【解析】设，则（为常数），
所以，，故，
因为，解得，所以，，
则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递减.
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.现有10道判断题，某学生对其中7道题有思路，3道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.5．该同学从这10道题中随机选择1题，记事件A：选择的是有思路的题，记事件B：答对该题，则（）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】由题意可得：
，，，A错误；
，则，B错误；
由全概率公式可得，所以，C正确；
，D正确．
故选：CD
10.已知函数，若函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（）
A.
B.函数在区间上单调递增
C.函数内一定取得到最大值
D.函数在内至多有一个零点
【答案】AD
【解析】由，
所以，在上，此时递减，
所以为且的子区间，
，则，故，即，A正确；
当，则，而，故，故上不一定单调，B错误；
由B分析知：，故当时，此时取不到最大值，C错误；
当，则，而，故，
所以，当时，在内无零点；
当时，在内有一个零点；
故在内至多有一个零点，D正确.
故选：AD
11.设椭圆，，为椭圆上一点，，点关于轴对称，直线分别与轴交于两点，则（）
A.的最大值为
B.直线的斜率乘积为定值
C.若轴上存在点，使得，则的坐标为或
D.直线过定点
【答案】BCD
【解析】对于A，在椭圆上，，，
，
由题意知：，的对称轴为，
若，即时，，；
当，即时，，；
综上所述：A错误；
对于B，关于轴对称，，，，
，B正确；
对于C，假设存在点，使得，，则∽，；
直线，直线，，，
，即或，C正确；
对于D，，，，
直线，即，
直线过定点，D正确.
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值是_________．
【答案】7
【解析】的展开式的通项，
令，得，因，所以当时，有最小值为7.
故答案为：7.
13.光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射率.如图，一个折射率为的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以的入射角从空气中射入点，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程