高级中学名校试卷
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河北省部分重点中学2025届高三下学期二轮复习联考（二）数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数满足（为虚数单位），则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题设，所以.
故选：B
2.已知集合，，若，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，因为，则.
故选：A.
3.已知为抛物线上一点，且点到轴的距离为1，则（）
A.1 B.2 C.4 D.6
【答案】B
【解析】由题意知点的坐标为，将其代入，得，.
故选：B
4.已知向量，，若，则（）
A. B. C. D.无法确定，与有关
【答案】C
【解析】由题，则，
所以.
故选：C
5.已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，
即，所以，
则.
故选：A.
6.已知且，则二项式的展开式中，常数项为（）
A. B. C.1 D.24
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以.
所以二项式的展开式中，常数项为：.
故选：D
7.设双曲线的右顶点为，，分别在两条渐近线上，且，，则该双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题设，由角平分线定理可得，
则，.
在中，由余弦定理得；
在中，由余弦定理得.
由得.解得.
则，即，
所以双曲线的离心率为.
故选:B.
8.某厂家对其软件进行加密升级，现对软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为.若序列的所有项都是3，且，，则（）
A. B. C.3 D.9
【答案】C
【解析】因为，
设，则，
因为的所有项都是3，所以，设，
所以是以为首项，3为公比的等比数列，所以.
由，；
由，；
由；
由.
又，所以.
所以.
故选：C
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.函数的大致图象可以是（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】函数，其中，，，取.
又函数图象是由的图象向左平移个单位得到的，AC符合题意，
故选:AC.
10.已知，，，则下列说法正确的是（）
A.的最大值为 B.的最小值为4
C.的最大值为2 D.的最小值为
【答案】AD
【解析】因为，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最大值为，故A正确；
因为，当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为6，故B错误；
因为，当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为2，故C错误；
可以看作直线落在第一象限内的点到原点距离的平方，易知最短距离为，
所以的最小值为，故D正确.
故选：AD.
11.已知是定义在上的奇函数，，是奇函数，且，则下列说法中正确的有（）
A.为偶函数 B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】由于是定义在上的奇函数，所以，
则，即，故A正确；
因为是奇函数，所以，即，
所以，则，令，所以，
所以，即的图象关于直线对称，
则，故B错误；
，故C正确；
，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设A，B为同一个随机试验中的两个事件，若，，，则_____.
【答案】
【解析】因为，所以.
.
故答案为：.
13.已知函数在区间上有且仅有2个零点，则的最小正周期的最小值为_____.
【答案】
【解析】，在区间上有且仅有2个零点，即，则有且仅有两个零点.
所以，则，即，
又，取最大值时，有最小值，最小值为.
故答案为：.
14.在长方体中，底面是边长为1的正方形，，Q是空间中的一个动点，且满足，则直线与所成角的正切值的取值范围为_____.
【答案】
【解析】方法一、如图以A为原点建立空间直角坐标系，
∴，，，，
设，
∵，∴，
即，不妨取，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴直线与所成角的正切值的取值范围为，
故答案：.
方法二、如图在长方体中，底面是边长为1的正方形，，
∴，，，，
∵，
∴不妨取，则点Q的轨迹是以为轴，且圆锥底面的圆上，
图形如下：
∴当Q在M时，直线与所成角取得最小值，
，
∴当Q在N时，直线与所成角取得最大值，
，
∴直线与所成角的正切值的取值范围为，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：当时，.
（1）解：当时，，，
则，，则