高级中学名校试卷
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河北省部分高中2025届高三下学期4月质量检测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由得，所以，
又，所以．
故选：C．
2.已知向量，，则在上的投影向量为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，
所以在上的投影向量为,
故选：C.
3.圆锥的底面半径为，侧面展开图是半圆面，那么此圆锥的侧面积是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】若圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为底面半径的2倍，
因为圆锥的底面半径为a，故圆锥的母线长为2a，故圆锥的侧面积，故选A.
4.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则图象的一条对称轴为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因，
将其图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，
则，
令，解得.
结合选项可知D正确．
故选:D.
5.已知变量x和变量y的一组成对样本数据，其中，其经验回归方程为，现又增加了2个样本点，，得到新样本的经验回归方程为.在新的经验回归方程下，若样本的残差为，则m的值为（）
A.3.15 B.1.75 C.2.35 D.1.95
【答案】D
【解析】因为过点，将代入得.
增加两个样本点后x的平均数为，，.
所以新的经验回归方程为，当时，.
所以样本的残差是，解得.
故选：D.
6.某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”（如2024是“幸运数”），并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有（）
A.32个 B.28个 C.27个 D.24个
【答案】B
【解析】依题意，首位数字为2的“幸运数”中其它三位数字的组合有以下七类：
①“006”组合，有种，②“015”组合，有种，③“024”组合，有种，
④“033”组合，有种，⑤“114”组合，有种，⑥“123”组合，有种，
⑦“222”组合，有1种.
由分类加法计数原理，首位数字为2“幸运数”共有个.
故选：B.
7.已知函数，其中为常数，若函数的图象如图所示，则（）
A.的图象与坐标轴有三个交点
B.的图象的对称轴在轴左侧
C.关于的方程有两个不等实根
D.在区间上单调递增
【答案】D
【解析】因，函数的图象在上为减函数，则，即得，又图象经过点，即，故得，解得，
于是，，易得该抛物线开口向上，顶点坐标为，
对于A，因函数在上单调递增，
则，即的图象与轴没有交点，
又的图象与轴有唯一交点，即的图象与坐标轴只有一个交点，故A错误；
对于C，关于的方程的实根个数，等于直线与曲线的交点个数，
由A项，因，则直线与曲线的交点个数为0，故C错误；
对于B，的图象的对称轴是直线，在轴右侧，故B错误；
对于D，因的图象对称轴：，在区间上单调递增，故D正确.
故选：D.
8.画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条互相垂直直线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心，以长半轴和短半轴平方和的算术平方根为半径的圆，称该圆为椭圆的蒙日圆.设A，B为椭圆E：上的两个动点，动点P在直线上，若恒成立，则E的离心率的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意，得椭圆E的蒙日圆方程为，
其上任意一点向椭圆C所引的两条切线互相垂直，
因此当直线与圆相离时，，
由，解得.
所以离心率.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.设，均为模是1的复数，则（）
A. B.
C. D.的最大值为5
【答案】BC
【解析】对于A，设，，则，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，设，，
则，
所以，，
，所以，故C正确；
对于D，的几何意义为复平面内以为圆心的单位圆上的点到的距离，
因为圆心到点的距离为5，则最大值为6，故D错误．
故选：BC．
10.设函数的定义域为，且，则（）
A. B.
C.是奇函数 D.
【答案】ABC
【解析】函数的定义域为，且，
对于AB，取，则，
因此数列是以为首项，公差为1的等差数列，，
则，，AB正确；
对于C，由，得，取，得，
取，得，即，因此，是奇函数，C正确；
对于D，，D错误.
故选：ABC
11.已知正方体的棱长为2，，分别是棱的中点，动点满足，其中，则下列命题正确的是（）
A.若，则平面平面
B.若，则与