高级中学名校试卷
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广东省深圳市宝安区2025届高三4月模拟测试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】对于集合，将不等式变形为，即.
则，所以集合.?
对于集合，解不等式，得到，即集合.??
所以，即.?
故选：A.
2.已知，，若，则实数（）
A. B.3 C.6 D.
【答案】A
【解析】因为，，所以，
因为，所以，解得，故A正确.
故选：A
3.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由函数的定义域为，
设，则，
又单调递增，
当时，，，无单调性，不成立；
当时，在和上单调递增，
即在和上单调递增，
所以，则，即；
当时，在和上单调递减，
即在和上单调递减，不成立；
综上所述，
故选：C.
4.已知，椭圆与双曲线的离心率分别为，，若，则双曲线E的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意，，，又，
所以，整理得，所以，
所以双曲线E的渐近线方程为，即，
故选：C.
5.从集合中随机取出4个不同的数，并将其从大到小依次排列，则第二个数是7的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】任取4个不同数，且从大到小排列可得所有的情况有种，
第2个数为7的情况有，
故概率为，
故选：D
6.在正方体中，是棱上的点，且．平面将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为和，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】延长，交的延长线于点，连接，交于点，连接，
平面将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为和，
故台体体积为，剩余图形的体积为，
设正方体的棱长为4，则正方体体积为，
又，，故，
，，
台体的高为，
故台体的体积为，
故，
所以.
故选：D
7.已知，函数在区间上有且仅有两个零点，，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，则，
函数在区间上有且仅有两个零点，
则与在上有两个交点，
则，且，
不妨设，则，
则
，
当时，有最小值.
则的最小值为.
故选：A
8.已知函数满足：，，，若，则（）
A.2022 B.2023 C.2024 D.2025
【答案】C
【解析】依题意，因为，则，
令，则，因为，所以，
又因为，则，即，
令，则，即，
令，则，所以，故得，
又；
又，
所以，即．
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9.已知为虚数单位，以下选项正确的是（）
A.若，则的充要条件是
B.若复数满足，则
C.
D.若复数满足，则的最大值为6
【答案】ACD
【解析】对于A，因，则等价于，
等价于，即，故A正确；
对于B，由可得，
当时，等式成立，但与不一定相等，故B错误；
对于C，因对于，，
则，
于是，故C正确；
对于D，由可理解为复平面内以原点为圆心的单位圆，
而可看成点到该圆上点的距离，
易得的最大值即，故D正确.
故选：ACD.
10.已知常见“对勾函数”的图象也是双曲线，其渐近线分别为与轴，其实轴和虚轴是两条渐近线的角平分线.设双曲线的一条渐近线与双曲线的实轴夹角为，其离心率为，双曲线的实轴长为，离心率为，则下列结论正确的是（）
A. B.点是的一个顶点
C. D.
【答案】ACD
【解析】如图1，当双曲线为焦点在轴上的标准方程时，
过双曲线的右顶点作轴的垂线交渐近线于点，
则，，故A正确；
由题意知，双曲线中，渐近线即，其斜率为，
如图2，它与轴夹角的正切值，
解得或（舍），，
由A选项可知，，故C正确；
顶点是对称轴（实轴）和双曲线的交点，
，∴对称轴为，与双曲线在第一象限交于，
，故B不正确，D正确.
图1图2
故选：ACD.
11.欧拉函数是数论中的一个基本概念，的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（只有公因数1的两个正整数互质，且1与所有正整数（包括1本身）互质），例如，因为1，3，5，7均与8互质，则（）
A. B.数列单调递增
C. D.数列的前项和小于
【答案】ACD
【解析】A选项，由题可知与4互质的数为1，3，则；与6互质的数为1，5，则；
与10互质的数为1，3，7，9，则，故，即A正确；
B选项，由A选项可知