高级中学名校试卷
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福建省莆田市2025届高三下学期第四次教学质量检测
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，则，
所以．
故选：A．
2.小明所在的学校每周都要进行数学周测，他将近8周的周测成绩统计如下：112，101，93，99，106，105，114，119，则这组数据的第25百分位数是（）
A.99 B.100 C.101 D.113
【答案】B
【解析】这组数据从小到大排列为93，99，101，105，106，112，114，119，
由，得这组数据的第25百分位数是.
故选：B
3.已知，，则在复平面内对应的点位于（）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【答案】D
【解析】因为所以，所以，
在复平面内对应的点为，位于第四象限．
故选：D．
4.已知向量满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意，在上的投影向量为，则，
所以，又，
所以，即与的夹角为．
故选：D．
5.沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过分钟时剩余的细沙量为，且（为常数），经过分钟时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（）
A.分钟 B.分钟 C.分钟 D.分钟
【答案】C
【解析】依题意有，即，
两边取对数得，所以，得到，
当容器上方细沙只有开始时的时，则有，所以，
两边取对数得，所以，
即需要经过的时间为分钟．
故选：C
6.已知某圆台下底面半径为2，高与上底面半径均为1，则该圆台外接球的表面积是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意分析可得球心应该在线段的延长线上，如图，设为圆台外接球的球心，，分别为上、下底面圆的圆心，为外接球半径，
则，解得，所以外接球的表面积为．
故选：C．
7.已知，，则（）
A.3 B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，
代入得，解得或，
因，所以，，
所以．
故选：D．
8.已知函数，，若对区间内任意两个实数，都有恒成立，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】假设，因为在上单调递增，所以，
所以，所以
令，则在区间内单调递增，所以，
因为在区间上单调递增，所以的最小值为，故，即；
令，则在区间内单调递增，所以，所以，
令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，即．
综上所述，．
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知抛物线的焦点为，点，为上的动点，则（）
A.满足的点恰有两个
B.满足面积为的点恰有三个
C.的最小值为3
D.的最小值为
【答案】BCD
【解析】满足的点位于线段的垂直平分线上，其直线方程为，与仅有一个交点，故A错误；
设到直线的距离为，，则，所以在直线或轴上，这样的点有三个，故B正确；
如图1，点在抛物线外，，故的最小值为，故C正确；
如图2，过作轴平行线，与准线交于点，与抛物线交于点，根据抛物线定义，，此时有最小值，故D正确．
故选：BCD．
10.某校教研会上，共有3位统考科目（语文、数学、外语）教师，2位首选科目（物理、历史）教师，4位再选科目（化学、生物、政治、地理）教师进行发言，现用抽签的方式决定发言顺序，用事件（，）分别表示第位发言的是统考科目教师、首选科目教师、再选科目教师，则（）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】或，故A正确；
，或，故B错误；
或，所以，故C正确；
因为，，
所以，D正确．
故选：ACD．
11.已知定义域为的函数是偶函数，且，，若，其中，则（）
A B.
C. D.的最小值为
【答案】ACD
【解析】在中，令，得，即，又是偶函数，所以，故A正确；
因为是偶函数，所以，又，
所以，将替换为可得①，
将替换为可得②，
可得，即，
所以是的一个周期，
又，，，，，
所以，故B错误；
因为，所以关于中心对称，
又是偶函数，所以关于中心对称，
所以，
即，，，，，
令，得，
，即，
所以，解得，故C正确；
由，得，且，
当时，则，，
，
当且仅当，即，时等号成立；
当时，，，
，
当且仅当，即，时等号成立，又，
所以的最小