高级中学名校试卷
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福建省南平市2025届高中毕业班第三次质量检测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，
由得，，即，则，
故.
故选：B
2已知复数，则（）
A. B. C. D.6
【答案】B
【解析】因为复数，所以
.
故选：B
3.已知双曲线的一条渐近线为，则的离心率为（）
A. B. C.2 D.
【答案】D
【解析】由题可得，所以的离心率为.
故选：D
4.已知平行六面体的体积为4，若将其截去三棱锥，则剩余几何体的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设点到平面的距离为，四边形的面积为，
显然有，所以，
因此剩余部分几何体的体积为，
故选：C
5.若，则（）
A.0或 B.或1 C.1 D.0
【答案】D
【解析】因为，
所以，
所以或，
因为，，
所以即，或（舍去），
所以.
故选：D
6.已知数列前项和为，若，且对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，且对任意的，都有成立，
所以，所以.
故选：D.
7.已知函数在区间恰有两个极大值点、三个对称中心，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，时，，
因为在区间恰有两个极大值点、三个对称中心，
故，解得.
故选：A
8.设表示不超过实数的最大整数，如，则方程解的个数为（）
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】B
【解析】方程解的个数等价于函数和的图象交点个数，
作函数和的图象如图所示：
由图可知函数和的图象的交点个数为5.
方程解的个数为5.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9.已知甲组数据的平均数为8，方差为2，由这组数据得到乙组数据，其中，则（）
A.数据的平均数为
B.乙组数据的方差为11
C.数据的方差小于2
D.甲组数据的第25百分位数是乙组数据的第25百分位数的2倍
【答案】AC
【解析】数据的平均数为8，数据，
对于A，由题，，
，
所以数据的平均数为
，故A正确；
对于B，由题乙组数据的方差为，故B错误；
对于C，由题可得数据的平均数为8，
所以数据的方差为
，故C正确；
对于D，因为，
所以甲组数据的第25百分位数是第二大数据设为，则乙组数据的第25百分位数是，
甲组数据的第25百分位数小于乙组数据的第25百分位数的2倍，故D错误.
故选：AC
10.已知函数则下列说法中正确的是（）
A.为奇函数
B.任意，存在，使得恒成立
C.若方程恰有两个不等实根，则
D.若方程恰有三个不等实根，则
【答案】BCD
【解析】对于A，，即，所以不为奇函数，故A错误；
对于B，当时，由对恒成立，
得，可得对恒成立，故，
当，由对恒成立，得，
所以对恒成立，故，
所以对任意，存在，使得恒成立，故B正确；
对于C，若方程恰有两个不等正实根，
则有两个不等的正根，所以有两个不等的正根，
则，解得时有两不等的实根，且，故C正确；
对于D，当时，在内单调递增，且，所以只有一个根，故时，恰有两个不等的正根时，有三个不等的实根，
由C可知当时，有两个不等的正根，不妔设此两正根为，且，
所以，
若第三个根为，由题意可得，所以，
解得，所以，故D正确；
故选：BCD.
11.已知向量满足，则（）
A.当时，与的夹角为
B.当时，在上的投影向量为
C.的最大值为
D.的最小值为4
【答案】BCD
【解析】当时，可得，又，所以，故A错误；
由，可得，又，所以，
所以，所以在上的投影向量为，故B正确；
设的夹角为，
所以，，
所以，
设，所以，
因为，所以，所以，
当时，，所以，故C正确；
当时，，所以，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知数列中，，，则_______.
【答案】7
【解析】由题意，．
故答案为：7．
13.设抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线l与C交于P、Q两点，则______.
【答案】
【解析】抛物线的焦点为，
过F且斜率为2的直线l方程为：，设，，
联立得：，则，
所以.
故答案为：.
14.已知正方体的棱长为4，点分别为线段上的动点，则的最小值为___________，此时___________.
【答案】①.；②..
【解析