高级中学名校试卷
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北京市东城区2025届高三下学期第二次综合练习数学试题
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，且，
则.
故选：A
2.已知，则复数的实部为（）
A. B.1 C. D.3
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以复数的实部为.
故选：.
3.已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为向量为单位向量，且，
所以，即，
化简得，
因为向量的夹角，
所以.
故选：B.
4.某人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化.记第一轮训练的模型参数的数量为，若从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，训练的模型参数增加的数量可以看成一个以为首项，公比为3的等比数列，则第五轮训练的模型参数的数量为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，从第二轮开始，该模型参数增加的数量为等比数列，
设首项为，公比为，
则通项公式为，
第一轮参数为,
第二轮参数增加的数量为,
第三轮参数增加的数量为,
第四轮参数增加的数量为，
第五轮参数增加的数量为,
所以第五轮训练的模型参数的数量为..
故选：C.
5.若双曲线的离心率大于，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题，，解得.
故选：D.
6.已知下列选项中能使既是奇函数又是增函数的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于A选项：如图，不符，
对于B选项：如图，符合，
对于C选项：如图，不符，
对于D选项：如图，不符，
故选：B.
7.已知，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】充分性：因为，所以或，
当时，或，，
当时，
或，，
可得或，所以充分性不成立，
必要性：若，
当为偶数时，设，则，
则，满足，
当为奇数时，设，则，
则，满足，
所以必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
8.已知直线过点，且上至少有一点到点的距离为2，则的倾斜角的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】以为圆心，2为半径作圆C，如图所示，
依题意直线l与圆C至少有一个交点，
①当直线l的科率不存在时，直线l与圆C有2个交点，此时直线l的倾斜角；
②当直线l的斜率存在时，设为，则，即
依题意，解得或，
此时直线l的倾斜角
综上所述，直线l的倾斜角，
故直线l的倾斜角的最大值为．
故选：C.
9.马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.已知当该飞行器所处高空的音速为，最大速度对应的马赫数分别为8和13时，燃料的质量分别为和，则下列结论一定正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当马赫数为8时，速度，
解得，即，，
当马赫数为13时，速度，
解得，即，，
所以,.
故选：C.
10.设无穷数列满足，则（）
A.存在，为等差数列
B.存在，为等比数列
C.存在，为递减数列
D.存在，为递增数列
【答案】D
【解析】选项A：若存在，数列为等差数列，
则（常数），即对所有成立，
则必须满足，且，
唯一可能解为，此时或，但不包含端点，故A错误；
选项B：若存在，数列为等比数列，
则（常数），即，即，
若，则与成正比，
由的图象可知，无法保证与的变式速度相同；
若，则，仅当时成立，但，故B错误；
选项C：若存在，数列为递减数列，
则，即，
但时，，故，数列递增，故C错误；
选项D：若存在，数列为递增数列，
则，即，故，数列递增，故D正确.
故选：D.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.在中，，，则___________．
【答案】
【解析】由正弦定理，，则，，且，即，故.
所以本题答案为.
【『点石成金』】本题考查正弦定理的应用和三角形大边对大角的性质，注意仔细审题，认真计算，属基础题.
12.已知，则实数_____
【答案】
【解析】因为
，
所以，
故.
故答案为：.
13.已知直线与抛物线在第一象限交于点，过点作轴的垂线，垂足为抛物线的焦点，则_____；若该抛物线的准线上的点到点与点的距离之和的最小值为，则_____.
【答案】①.②.
【解析】对于抛物线，其焦点坐标为.
因为过点作轴的垂线，垂足为抛