高级中学名校试卷
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北京市朝阳区2025届高三下学期质量检测二数学试题
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.已知集合，集合，则集合（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】对于集合，，化简得，所以.
所以集合.
对于集合，，根据指数函数的性质可得.
所以集合.
所以.
故选：A.
2.若抛物线的焦点坐标为，则抛物线C的准线方程为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点坐标为，
所以抛物线方程为，
准线方程为.
故选：D
3.已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
又在上为增函数，
所以，
综上，，
故选：D
4.已知的展开式中，第4项和第6项的系数相等，则（）
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】B
【解析】由，根据题意有，由组合数的性质有.
故选：B.
5.已知函数，则对任意实数x，有（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，
作出函数图象，如图，
由图象可知，函数图象关于点中心对称，故A正确；
图象不关于点对称，故B错误；
当时，，故C错误；
令，则，故D错误.
故选：A
6.在矩形中，，点E为线段的中点，与交于点F．设，其中分别是与方向相同的单位向量，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】在矩形中，因为点E为线段的中点，所以，
则有，
因为，分别是与方向相同的单位向量,
所以，
则，
又因为，所以，
故选：B.
7.设，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由，
得，解得或，
由，得，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
8.已知函数，曲线在点处的切线方程为，设函数，则（）
A.当时， B.当时，
C.当时， D.当时，
【答案】C
【解析】由函数，可得，可得，
所以曲线在点处的切线方程为：，
又由，
因为，其中，
若时，，其中，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
所以，所以，
又由，且，即不恒成立，
所以C正确，A不正确；
若时，，其中，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，所以不恒成立，
又由，，此时，所以不恒成立，
所以B、D均不正确.
故选：C.
9.金刚石是由碳元素组成的单质，具有极高的硬度，在工业中有广泛的应用，如图1所示，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的4个顶点A，B，C，D处，中间的碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置（点E处），如图2所示，设，则E到平面的距离为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】沿四面体的两条侧棱和高，切出一块几何体如下图，
O是顶点A在下底面的射影，E是正四面外接球的球心，AO是正四面体的高，OB是下底面的外接圆半径，是球的半径，
则，解得，
在中，，
在中，，
即，即，
解得，
所以，
由于到正四面体各面的距离相等，则E到平面的距离为.
故选：C
10.设无穷数列的前n项和为，定义，则（）
A当时，
B.当时，
C.当时，则
D.当时，
【答案】D
【解析】对于A选项：当时，，不正确；
对于B选项：当时，在为奇数时为1，偶数时为0，故，不正确；
对于C选项：当时，，
又，所以
，不正确；
对于D选项：当时，，
，正确，
故选：D.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11.若复数z满足，则__________．
【答案】
【解析】因为，所以，
所以.
故答案为：
12.已知等差数列满足，则__________；设为的前项和，则使的的最小值为__________．
【答案】①.0②.7
【解析】设等差数列的公差为，由，
得到，解得，所以，
则，
又，得到或（舍），
又，所以使的的最小值为，
故答案为：，.
13.在中，，且，则__________；面积的最大值为__________．
【答案】①.②.
【解析】在中，由，得，而，所以；
的面积，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为.
故答案为：；
14.若直线与双曲线没有公共点，则双曲线C的离心率的一个取值为__________．
【答案】3（答案不唯一）
【解析】的渐近线为，且焦点在轴上，
由题知：，因，解得，
所以离心率，
故离心率的一个取值可以为3.
故答案为：3(答案不唯一).
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