高级中学名校试卷
PAGE
PAGE1
辽宁省葫芦岛市普通高中2024届高三下学期
第二次模拟考试数学试卷
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据集合交集的定义立得.
故选：A.
2.设A，B是两个随机事件，且，，则下列正确的是（）
A.若，则A与B相互独立 B.
C. D.A与B有可能是对立事件
【答案】A
【解析】对A：由，故，则有，
故与相互独立，故与相互独立，故A正确；
对B：，故B错误；
对C：，由未定，故C错误；
对D：，故与不是对立事件，故D错误.
故选：A.
3.某校要派4名教师到甲、乙两个社区开展志愿者服务，若每个教师只去一个社区，且两个社区都有教师去，则不同的安排方法有（）
A.20种 B.14种 C.10种 D.7种
【答案】B
【解析】第一步：将4名教师分成两组，有两种情况：一种情况是1组1人、1组3人，一种情况是每组2人，
共有种分法；
第二步：将第一步得到的两个不同组分给两个不同社区，有种分法，
则不同的安排方法有（种）.
故选：B.
4.等差数列中，，，则使得前n项的和最大的n值为（）
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】B
【解析】在等差数列中，，由，可得，
，，且数列为递减数列，
所以使得前n项的和最大的n值为8.
故选：B.
5.某地为了了解学生的睡眠时间，根据初中和高中学生的人数比例采用分层抽样，抽取了40名初中生和20名高中生，调查发现初中生每天的平均睡眠时间为8小时，方差为2，高中生每天的平均睡眠时间为7小时，方差为1.根据调查数据，估计该地区中学生睡眠时间的总体方差约为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：（小时），
该地区中学生每天睡眠时间方差为：.
故选：D.
6.已知函数的部分图象如图所示，若，，则正整数的取值为（）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】方法一：因为，
所以，
，所以，即，
而，所以是非负整数，
又由图象可得，所以，
综上，只能，
所以的最小正周期为，
而由，可知，即正整数是的周期，
所以，即，对比选项可知只有C选项符合题意.
方法二：设函数的最小正周期为，由于，故据图象可知，从而.
从而由表明，比对选项知C正确，A，B，D错误.
故选：C.
7.直线l与平面成角为，点P为平面外的一点，过点P与平面成角为，且与直线l所成角为的直线有（）
A.0条 B.1条 C.2条 D.4条
【答案】C
【解析】如图所示，设直线与平面相交于，直线在平面的射影为直线.
且直线与平面所成角为，
即.
设圆锥的顶点为点，圆锥的轴平面，
即圆锥的任意一条母线与平面所成角都等于.
当过点的母线为直线时，
直线与平面所成角为，直线与直线所成角为，即,
当过点的母线沿逆时针旋转到直线时，
直线与直线所成角为，即，
所以过点的直线从沿逆时针旋转到直线时，
与直线所成角的范围为，
故存在一条过点的直线与直线所成角为，
同理可得，过点的直线从沿顺时针旋转到直线时，
也存在一条过点的直线与直线所成角为，
所以过点的直线与平面所成角为，与直线所成角为的直线有2条.
故选：C.
8.已知函数，，若关于x的方程有三个不同实数根，则实数t的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】如图，作出函数的图象，
令，由图可知，当时，关于的方程有个不同的实数根，当或时，关于的方程只有个实数根，
因为关于x的方程有三个不同实数根，
所以关于的方程的一个根在上，另一个根在上，
或方程的两个根一个为，另一个在上，
若为方程的根时，则，
当时，方程的另一个根为，不符题意，
当时，方程的另一个根为，不符题意，
若为方程的根时，则或，
当时，方程的另一个根为，不符题意，
当时，方程只有一个根为，不符题意，
若关于的方程的一个根在上，另一个在上时，
令，
则，即，解得，
综上所述，实数t的取值范围是.
故选：B.
二、选择题
9.已知向量，，为非零向量，下列说法正确的有（）
A.若，，则
B.已知向量，，则
C.若，则和在上的投影向量相等
D.已知，，，则点A，B，D一定共线
【答案】CD
【解析】对于A，若，，则与可能平行，故A错误；
对于B，设，则，解得，所以，故B错误；
对于C，若，则，所以，所以和在上的投影向量相等，故C正确；
对于D，因为，，所以,所以点A，B，D一定共线，故D正确.
故选：CD.
10.集合的整数元素的个数为，数列的前n项和为，满足，，且，都有成立，下列选项正确的是（）