高级中学名校试卷
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河北省部分高中2024届高三下学期二模考试数学试题
一、选择题
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，，
故.
故选：A.
2.已知复数是实数，则（）
A. B. C. D.2
【答案】D
【解析】
因为是实数，
所以，即.故选：D.
3.已知随机变量服从正态分布，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为，则，，
若则，
即，故充分性成立，
若，则，解得或，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.
4.已知一个底面内口直径为的圆柱体玻璃杯中盛有高为的水，向该杯中放入一个半径为的实心冰球和一个半径为的实心钢球，待实心冰球融化后实心钢球恰好淹没在水中（实心钢球与杯中水面、杯底均相切），若实心冰球融化为水前后的体积变化忽略不计，则实心钢球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得，实心冰球融化前后体积不变，则有
，
化简可得：，
即，，解得：，
所以钢球表面积为.故选：D.
5.已知点，都是图象上的点，点到轴的距离均为1，把的图像向左平移个单位长度后，点分别平移到点，且点关于原点对称，则的值不可能是（）
A.3 B.5 C.10 D.11
【答案】C
【解析】由，可得，，
因为点关于原点对称，所以，
又因为由是图象上的点，
所以，所以，所以，
故，，所以，
又，所以，
故或，，
即或，，结合选项知选C．故选：C.
6.已知，是圆上的两个动点，且，若点满足，点在直线上，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，连接，
由，是圆上的两个动点，且，
即，
又，则，可得，
所以，
则动点的轨迹方程为，
且圆心到直线的距离为，
所以最小值为.
故选：D.
7.某地计划对如图所示的半径为的直角扇形区域按以下方案进行扩建改造,在扇形内取一点使得,以为半径作扇形，且满足，其中，，则图中阴影部分的面积取最小值时的大小为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意知，则图中阴影部分的面积
，
因为，，所以，所以，
令，
则，
由，得，
因为，所以，
令，得，
所以，所以，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，最小，即图中阴影部分面积取最小值.
故选：A.
8.已知函数,,正实数a,b,c满足，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题得，，
由，得，即，所以．
由，得，
因为，，所以，
又，所以，所以．
由，得，即．
易知，所以，所以，故．
又，所以，所以，
所以，所以，所以．
故选：B．
二、选择题
9.已知为坐标原点，焦点为的抛物线过点，过且与垂直的直线与抛物线的另一交点为，则（）
A.
B.
C.
D.直线与抛物线的准线相交于点
【答案】ACD
【解析】由抛物线过点，
可得，则，故A正确；
由上可知抛物线，准线方程为，
所以，故B错误；
由已知可得，所以直线的方程为，即，
联立方程组，得，
解得或，故，
所以，故C正确；
由直线的方程，令，得，
所以直线与抛物线的准线相交于点，故D正确.
故选：ACD
10.已知，，其中，．若，则（）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】二项式展开式通项为（且），
，
所以，，
因为，所以，解得（舍去）或，故A正确；
由，
令可得，故B正确；
由，
令可得，
令可得，所以，故C错误；
将两边对求导可得，
，
令可得，故D错误.
故选：AB
11.一般地，如果一个四面体存在由同一点出发的三条棱两两垂直，我们把这种四面体叫做直角四面体，记该点为直角四面体的直角顶点，两两垂直的三条棱叫直角四面体的直角棱，任意两条直角棱确定的面叫直角四面体的直角面，除三个直角面外的一个面叫斜面．若一个直角四面体的三条直角棱长分别为，，，直角顶点到斜面的距离为，其内切球的半径为，三个直角面的面积分别为，，，三个直角面与斜面所成的角分别为，，，斜面的面积为，则（）
A.直角顶点在斜面上的射影是斜面的内心 B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】A选项，连接，由于⊥，⊥，且，平面，所以⊥平面，
又平面，所以⊥，
因为⊥平面，平面，所以⊥，
因为，平面，所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
同理可得⊥，⊥，
故为的垂心，不一定为内心，A错误；
B选项，由A可知，⊥平面，⊥平面，
延长交于点，连接，因为平面，平面，
则⊥，⊥，
设，在Rt中，，，
故