高级中学名校试卷
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浙江省台州市2024-2025学年高一上学期1月期末质量评估
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1.若幂函数经过点，则（）
A.81 B. C.3 D.
【答案】C
【解析】设幂函数，则，所以，
所以
故选：C.
2.已知函数y=f(x)在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，，，，则函数y=f(x)在区间上的零点至少有（）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】因为函数y=f(x)在区间上的图象是一条连续不断的曲线，
且，，，，
根据根的存在性定理可知，在区间和内至少含有一个零点，
故函数在区间上的零点至少有2个.
故选：B.
3.“且”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当且时，成立，
反过来，当时，例：，不能推出且.
所以“且”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4.已知扇形的圆心角为1rad，面积为8，则扇形的弧长为（）
A.8 B.4 C. D.
【答案】B
【解析】设该扇形的弧长为l，圆心角为，半径为r，
由，可得，解得，故.
故选：B.
5.若，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，
又因为，所以，
解得：，或，
因为，所以，
此时可得，则.
故选：D.
6.将函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象关于y轴对称，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，将函数的图象向左平移个单位长度，
得到偶函数的图象，
所以，求得，
又，故的值为.
故选：B.
7.设，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，
且，所以，
因为，
所以，所以
故选：C.
8.光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向通常会发生改变，这种现象称为光的折射.光在折射过程中，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值是一个常数.例如，一束光线从空气斜射入水时，会发生折射现象，并满足（其中是入射角，是折射角）当入射角增加时，折射角增加，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】已知光从空气斜射入水时，满足即.
当入射角增加时，设此时入射角为+，折射角变为+，
根据折射定律有：，即++，
因为+，，
将代入，
可得++
+，
由于，的值在0到1之间，，，
当时，+，
而当时)，所以.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知，则下列不等式成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】选项A，若，则，正确；
选项B，若，则，错误；
选项C，，则，所以，正确；
选项D，因为，则，
所以，正确.
故选：ACD.
10.已知函数，则下列结论正确的是（）
A.的值域为 B.函数的最小正周期为
C.在上单调递减 D.的图象关于对称
【答案】AD
【解析】由，
对于A，因为，故的值域为，正确；
对于B，因为的最小正周期为，则函数的最小正周期为，错误；
对于C，当时，，在给定区间内不单调，错误；
对于D，因为，则的图象关于对称，正确.
故选：AD.
11.已知，都是定义在R上的函数，且，则下列结论正确的是（）
A.若，则
B.若，则
C.存在，使得
D.若是增函数，则是增函数
【答案】ABD
【解析】对于选项A，，则，故A正确；
对于选项B：，，
则，故B正确；
对于选项C，若存在使得，则，
由于是增函数，对于不同的x值，的值不同，
因此不存在满足条件的，故C错误；
对于选项D，若是增函数，则时，，
由，可得，，
由于且，所以，
即是增函数，选项D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.函数（且）的图象恒过定点______．
【答案】
【解析】由，
令，得，
所以函数（且）的图象恒过定点.
13.已知，则_________.
【答案】
【解析】因为，所以.
14.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量单位：与时间单位：间的关系为，其中，k是正常数．污染物的初始含量为__________；如果在前5h消除了的污染物，那么污染物减少需要花费__________小时(精确到参考数据：
【答案】57
【解析】因为过滤过程中废气的污染物含量P与时间t间的关系为，
所以时，；