高级中学名校试卷
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浙江省杭州市某校2024-2025学年高一上学期期末考试
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1.集合，，则（）
A.{－1，0，1} B.{0，1}
C.? D.{0}
【答案】D
【解析】∵M＝{x|x＝sin，n∈Z}＝{，0，}，
N＝{x|x＝cos，n∈N}＝{﹣1，0，1}，
∴M∩N＝{0}.
故选：D．
2.已知复数（其中是虚数单位），则（）
A.2 B.1 C. D.
【答案】C
【解析】因为，则，
所以.
故选：C.
3.已知集合，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，可得，所以，
因为在上单调递增，又，
由，可得，所以B=xx1，所以，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4.在中，（分别为角的对边），则的形状为（）
A.正三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形
【答案】B
【解析】因为，所以，整理得到，
又由正弦定理，得到，
所以，得到，
又，所以，得到，又，所以.
故选：B.
5.已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（）
A.1 B.4 C.8 D.9
【答案】D
【解析】由对任意的实数均成立，
可得.
，
当且仅当，即时取等号，则.
故选：D.
6.设，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，且，所以，则，
因为在上为增函数，所以；
因为在上为增函数，且，
所以，即，所以.
故选：A.
7.在直角三角形ABC中，已知，，，以AC为旋转轴将旋转一周，AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为()
A. B.4 C. D.8
【答案】D
【解析】如图，圆锥任意两条母线为AB和AD，则截面为等腰三角形ABD，
∴截面面积为：，
由图可知，当截面为圆锥轴截面时，∠BAD最大，最大为120°，
∴∠BAD∈(0°，120°]，∴sin∠BAD最大值为1，
∵AB=AD=为定值，故当sin∠BAD最大时截面面积最大，
故截面面积最大为．
故选：D．
8.已知，若方程恰好有三个互不相等的实根，则实数的取值范围为（）
A. B.
C.或 D.或
【答案】D
【解析】，
当时，的对称轴为，则单调增区间为，减区间为，
当时，的对称轴为，则单调增区间为，减区间为，
的图象如图所示，
令，则可化为，
要使方程恰好有三个互不相等的实根，
则方程有两个不同的实根，且，
或方程有两个相等的根，
令，
当时，，解得，
当时，，得，
综上，或.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在中，，，，是边上的一点，则（）
A.
B.外接圆的半径是
C.若，则
D.若是的平分线，则
【答案】ACD
【解析】对于选项：，故选项正确；
对于选项B：由余弦定理，得，解得，
由正弦定理，得外接圆的半径是，故选项B错误；
对于选项C：因为，所以，所以，则，故选项C正确；
对于选项D：由等面积法，得，
即，解得，故选项D正确.
故选：.
10.已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意a，都满足，则下述正确的是（）
A. B.
C.是奇函数 D.若，则
【答案】ACD
【解析】令，则，故A正确；
令，则，则，故B错误；
令，则，所以，
又令，则，
所以是奇函数，故C正确；
令，则，
所以，故D正确.
故选：ACD.
11.如图1所示，四边形是边长为的正方形，、、分别为、、的中点，分别沿、及所在直线把、和折起，使、、三点重合于点，得到如图2所示的三棱锥，则下列结论中正确的有（）
A.三棱锥的体积为
B.异面直线与所成角的余弦值为
C.过点的平面截三棱锥的外接球，所得截面的面积的最小值为
D.过点的平面截三棱锥的外接球，所得截面的面积的最大值为
【答案】BCD
【解析】对于A选项，翻折前，在正方形中，，，
翻折后，则有，，
因为，、平面，则平面，
因为为的中点，
则，故A错误；
对于B选项，在图2中，取的中点，连接、，
因为、分别为、的中点，则，
且，
则异面直线与所成的角为或其补角，
又，
由余弦定理可得
，
所以，异面直线与所成角的余弦值为，故B正确；
对于CD选项，因为平面，，
可以把三棱锥放到如图所