高级中学名校试卷
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河南省焦作市普通高中2025届高三下学期第三次模拟考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知等差数列的公差为3，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为等差数列的公差为，所以.
故选：C.
2.已知且，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得A项中的和C项中的的值无法确定，
对于B，，对于D，．
故选：D
3.若为方程的两个不同的根，则（）
A.－2i B.2i C.－2 D.2
【答案】A
【解析】因为，所以．
故选：A
4.若双曲线上的点到点的距离为4，则点到点的距离为（）
A.14 B.12 C.10 D.8
【答案】B
【解析】由题意可知，，则，
则双曲线的左、右焦点分别为，
因或，且，故．
故选：B
5.已知，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以.
故选：D.
6.已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为的图象关于轴对称，所以为偶函数，排除B，
又，排除A，当时，，排除D.
故选：C．
7.若，且，则的最大值为（）
A. B.1 C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故选：B.
8.与曲线和圆都相切的直线有（）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【答案】C
【解析】设直线与曲线相切于点，
则的方程为，即．
圆C：，因为与圆相切，所以，
所以，
令，则，
令，得或，
进一步得到上单调递增，在上单调递减，
所以，
又当时，，所以在区间上分别有1个零点，
所以这样的切线有3条．
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.在中，若，点在边上，点在边上，且，，则（）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】对于，，故正确；
对于，因为，所以，故错误；
对于，因为，所以为边上的高，的面积为，所以，故错误；
对于，因为，所以平分，即，
又，所以，所以，故正确．
故选：.
10.在三棱锥中，已知为的中点，则下列说法正确的是（）
A.长度的取值范围是
B.直线与平面所成的角为
C.若，则，所成的角为
D.若，则三棱锥外接球的表面积为
【答案】BD
【解析】对于A，因为，为的中点，
所以，所以，所以，故A错误；
对于B，由题，易得，又平面，所以平面，
所以与平面所成的角为，故B正确；
对于C，因为，所以，所以，
又因为平面，所以平面，所以，故C错误；
对于D，如图，取的中点为F，连接，则，
由图形的对称性得，三棱锥外接球的球心必在的延长线上，
设，由，分别由勾股定理得，
所以，所以外接球的半径为，
所以外接球的表面积为，故D正确．
故选：BD.
11.如图，一个圆形仓鼠笼被分为A，B，C，D四个区域，相邻区域之间用通道相连，开始时将一只仓鼠放入区域，仓鼠每次随机选择一个通道进入相邻的区域，设经过次随机选择后仓鼠在区域的概率为，则（）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A，因为仓鼠一开始在区域，经过1次选择后不可能在区域，所以，故A正确；
对于B，记仓鼠经过次随机选择后在B，C，D区域的概率分别为，，
则有所以，进一步得，
因为，所以，所以，
所以不成等比数列，故B错误；
对于C，因为，
所以，故C正确；
对于D，因为，
所以，故D正确．
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知集合，非空集合，若，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】由题意得，又因，
所以，解得．
故答案为：.
13.我们把几何体的表面积与体积之比称为“相对积”．已知三棱锥中，分别在棱上，且截面与底面平行，，则三棱锥与三棱锥的相对积之比为______．
【答案】
【解析】设三棱锥、三棱锥的体积分别为，表面积分别为，
高分别为，
因为，所以，，，
则，，
则三棱锥与三棱锥的相对积之比为．
故答案为：
14.若过点的直线与抛物线交于B，C两点，以B，C为切点分别作的两条切线，则两条切线的交点的轨迹方程为______．
【答案】
【解析】设的方程为，代入中，整理得，
设，则，
由题意过点的切线斜率存在且不为0，设为，
联立，得，由可得，即，
所以切线方程为，同理可得过点的切线方程为.
联立