高级中学名校试卷
PAGE
PAGE1
河南部分高中2025届高三下学期4月青桐鸣大联考
数学试题
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，.
故选：B.
2.已知为偶函数，则实数（）
A.0 B.1 C. D.
【答案】C
【解析】易得函数的定义域为，由是偶函数，得恒成立，
可得，故.
故选：C
3.已知为平面，为两条不同的直线，且，设命题甲：；命题乙：，则（）
A.甲是乙充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】，，或，充分性不成立；
，，
和相交、平行或异面，必要性不成立.
故选：D.
4.已知随机事件满足，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，；
，，
.
故选：A.
5.记抛物线的焦点为上一点满足，则直线的斜率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设，由抛物线的定义可得，解得，
代入的方程可得，故直线的斜率为.
故选：D
6.已知，且，则（）
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】C
【解析】因为，所以，
令，则，解得或，
即或（舍去），所以.
故选：C.
7.已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下：
2
3
4
5
6
1.02
1.20
1.42
1.62
1.84
由上表可得经验回归方程为，则（）
A.0.206 B. C.0.596 D.
【答案】D
【解析】由表格中数据得，
，
代入方程得，，解得，因此.
由两边取对数，得.
又，所以，，即.
故选：D
8.函数在上的零点和极值点的个数分别为（）
A.5，3 B.5，4 C.3，4 D.3，2
【答案】B
【解析】令，所以或，
又，所以，即在上有5个零点；，
令，解得或，
又，所以在区间上有2个解，在区间上有2个解，故在上有4个变号零点，即在上有4个极值点.
故选：B.
二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知，为虚数单位，，是的共轭复数，则下列说法正确的是（）
A.若为纯虚数，则
B.若在复平面内所对应的点位于第一象限，则
C.的最小值为
D.为定值
【答案】AC
【解析】；
对于A，为纯虚数，，解得：，A正确；
对于B，在复平面内对应的点位于第一象限，，解得：，
即，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，不是定值，D错误.
故选：AC.
10.已知为坐标原点，点，则下列说法正确的是（）
A.
B.若，则
C.和的面积之和的最大值为1
D.若，则
【答案】ABD
【解析】对于A：由题意得，，故A正确；
对于B：若，则，又因为，所以或，
若，则，此时，
若，则，此时，故B正确；
对于C：，
，，
所以，
整理得，
所以和的面积之和的最大值为，故C错误；
对于D：若，注意到在单位圆上，
当且仅当与单位圆相切时，取最大值，此时恰为，
故为以为斜边的等腰直角三角形，
所以，故D正确.
故选：ABD.
11.记为数列的前项和，且为等差数列，为等比数列，，则下列说法正确的是（）
A.
B.存在正整数，对于任意的正整数，均有
C.对于任意的正整数，均有
D.存正整数，使得
【答案】AC
【解析】对于A，因为为等差数列，取前3项知成等差数列，即.
因为为等比数列，取前3项知成等比数列，即，
代入，得，即，也即，所以或.
若，那么，所以，但不为等比数列，所以假设不成立，则，得，检验得为等差数列，为等比数列，故A正确.
对于B，也就是验证数列是否存在唯一的最大项，
令，即解得，
令，解得，
又，所以，即最大项不唯一?因此不存在符合题意的正整数，故B错误.
对于C，D，因为.
记，注意到，
所以，
于是，
因此对于任意的正整数，均有，故C正确，D错误.
故选：AC.
三?填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知为椭圆上一点，且直线与有且仅由一个交点，则的焦距为__________.
【答案】
【解析】将代入椭圆方程，得到，
又因为直线与仅有一个交点，所以，
进而解得，所以的焦距为.
故答案为：.
13.设函数，若，，则当取得最小值时，__________.
【答案】
【解析】，
（当且仅当，即时取等号），
，则，即（当且仅当时取等号），
.
故答案为：.
14