高级中学名校试卷
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河北省秦皇岛市山海关区2025届高三第三次模拟考试
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，解得，
所以，
由，即，解得，
所以，
则.
故选：C
2.下列关于复数的说法，正确的是（）
A.复数的任何偶数次幂都不小于零
B.若实数，则是纯虚数
C.在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数
D.若复数满足，则均为实数
【答案】D
【解析】对于A中，由虚数单位，可得A错误；
对于B中，若，那么，所以B错误；
对于C中，虚轴上的点对应复数，所以C错误；
对于D中，若复数满足，虚数不能比较大小，则均为实数，D正确.
故选：D.
3.已知向量与单位向量同向，且，则的坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由点，可得，且，
所以与向量同向的单位向量为.
故选：B.
4.若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由点在椭圆的内部，
可得：，且，
解得：或，
所以实数的取值范围为，
故选：B
5.已知的内角所对的边分别为，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以.
根据正弦定理可得，所以.
因为，所以根据余弦定理，可得：，
化简可得，所以.
因为为的边，，所以.
故选：D.
6.如图，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点，则过点、、的平面与侧面的交线长为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设平面分别交棱、于点、，如下图所示：
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
又因为，由等角定理及图形可知，
则，即，故，
故，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
又因为，由等角定理及图形可得，
所以，即，所以，
所以，故.
因此，平面与侧面的交线长为.
故选：A.
7.在平面直角坐标系中，“”是“为第四象限角”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】先证必要性，若是第四象限的角，则，
所以，因为，
所以，所以，
所以，“”是“为第四象限角”的必要条件，
再证充分性，若，则可得不是第二，三象限的角且不是坐标轴上的角，
所以，若，则与题设矛盾，
所以，所以为第四象限角，
所以“”是“为第四象限角”的充要条件.
故选：C.
8.如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为是等腰直角三角形，，，
则的外接圆半径，
因为侧面是等边三角形，设其外接圆半径为，
由正弦定理可得，解得，
设外接圆圆心为，外接圆的圆心为，
因平面平面，
过作平面的垂线，过作平面的垂线，
两垂线的交点即为四面体外接球的球心，
设球心到平面的距离为，则等于的外接圆的圆心到的距离，
在等边三角形中，到的距离为，即，
所以外接球的半径，
所以.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知随机变量X服从正态分布N（100，102），则下列选项正确的是（）
（参考数值：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6826），P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.9974）
A.E（X）＝100 B.D（X）＝100
C.P（X≥90）＝0.8413 D.P（X≤120）＝0.9987
【答案】ABC
【解析】∵随机变量X服从正态分布N（100，102），
∴，
∴，故A正确；
，故B正确；
根据题意可得，P（90＜X＜110）＝0.6826，P（80＜X＜120）＝0.9544，
∴P（X≥90）＝，故C正确；
P（X≤120）＝，故D错误．
故选：ABC．
10.已知函数且，则（）
A.是周期函数 B.的图象是轴对称图形
C.的图象关于点对称 D.
【答案】AB
【解析】由于，所以是周期函数，故A正确；
定义域为，，
从而为偶函数，其图象关于轴对称，故B正确；
由于，
从而当为奇数时，的图象不一定关于点对称，故C不正确；
当时，，令，则此时，故D不正确.
故选：AB
11.已知函数，则（）
A.的极小值是1
B.恰有2个零点
C.方程恰有1个实根
D.对任意的，都有
【答