高级中学名校试卷
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云南省保山市2024-2025学年高一上学期期末质量监测
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1.已知弧长为的弧所对圆心角为，则这条弧所在的圆的半径为（）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】设这条弧所在的圆的半径为，
，又圆心角所对的弧长为，
所以，解得.
故选：B.
2.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，且，
所以，则.
故选：C.
3.函数的定义域是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由已知可得，解得且，
所以函数的定义域是.
故选：A.
4.为了得到函数的图象．只需把函数的图象上所有的点（）
A.向左平行移动个单位长度
B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动个单位长度
D.向右平行移动个单位长度
【答案】C
【解析】因为，所以把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度即可．
故选：C.
5.已知，，，则的大小关系是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】依题意，，
则，而，则，
所以的大小关系是.
故选：C.
6.某市GDP的年平均增长率为，按此增长率，大约经过年后该市GDP会翻一番，则为（参考值，）（）
A.14 B.16 C.18 D.20
【答案】A
【解析】设某市原有GDP为，经过年后该市GDP会翻一番为，
由年平均增长率为，可得，
所以，两边取自然对数得，
所以，代入参考值得.
故选：A.
7.已知函数在区间上至少有3个零点，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，
因为函数在区间上至少有3个零点，
所以，解得，所以的取值范围是.
故选：C.
8.，用表示，中的较小者，记为，若，，则函数的最大值为（）
A. B.6 C. D.3
【答案】D
【解析】①当时，，，
由，可得，
解得，又，所以，
所以当时，，所以，
当时，，所以，
②当时，由，可得，
解得，又，所以，
所以当时，，所以，
当时，，所以，
综上所述：，
当时，，所以，所以，
当时，，
当，，
综上所述：，所以函数的最大值为.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列判断正确的是（）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
【答案】BD
【解析】因为，所以的终边在一，二象限，
当的终边在一象限时，，
当的终边在二象限时，，故A错误；
由，可得，
所以，解得，故B正确；
，故C错误；
，故D正确.
故选：BD.
10.如图，在以为直径的半圆中，是圆心，是垂直于的半径，是直径上与不重合的任意一点，交半圆于点，于点，设，，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】由题意得：，所以，故选项A正确，
在中，由勾股定理得：，故选项B正确，
，故选项C错误，
，故选项D正确.
故选：ABD.
11.对于任意的，表示不超过的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（）
A.函数，图象关于原点对称
B.设，，则有
C.函数，的值域为
D.不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】对于A：当时，，当时，，
即点，都在函数的图象上，它们关于原点不对称，
则函数图象关于原点不对称，故A错误；
对于B，因为，
所以，故B正确；
对于C：由取整函数的定义知，，则，
因此函数，的值域为，故C正确；
对于D：由，得，解得，
而，则，因此，不等式的解集为，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.计算：______．
【答案】
【解析】.
13.已知，，则______．
【答案】
【解析】由可得，
平方可得，即，
化简可得，
即，解得或，
其中，则，
当时，（舍），
当时，，所以.
14.已知函数是定义域为的偶函数，且，并满足，则______．
【答案】0
【解析】由函数是定义域为的偶函数，得，
而不恒为0，则，，
又，则，即，
因此，函数是周期为4的周期函数，
由，得，
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知函数.
（1）求，；
（2）判断函数的奇偶性并证明．
解：（1）函数，则，.
（2）函数是偶函数.