21.3实际问题与一元二次方程
一、教学目标
1.学生能够准确识别实际问题中的等量关系，并据此列出一元二次方程。
2.熟练掌握一元二次方程的解法，正确求解方程并检验答案的合理性。
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，增强数学应用意识。
二、教学重难点
1.重点：分析实际问题中的数量关系，建立一元二次方程模型并求解。
2.难点：如何将实际问题转化为数学问题，找到合适的等量关系列出方程。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合，引导学生自主思考与合作交流。
四、教学过程
（一）知识回顾
提问：
什么是一元二次方程？它的一般形式是什么？（答案：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程；一般形式是ax2+bx+c=0（））
一元二次方程有哪些解法？（答案：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）
回顾解题步骤：以方程x2-5x+6=0为例，引导学生回顾用因式分解法求解的步骤：
先将方程左边因式分解为(x-2)(x-3)=0；
再根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”，得到x-2=0或x-3=0；
最后解得x1=2，x2=3。
（二）例题精讲（20分钟）
例1：传播问题
问题：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人。第一轮传染后，患病的人数为1+x；第二轮传染是在第一轮的基础上进行的，所以第二轮传染后患病的人数为(1+x)+x(1+x)，即(1+x)2。由此可列出方程(1+x)2=121。
求解：
利用直接开平方法，1+x=；
当1+x=11时，x=10；当1+x=-11时，x=-12（人数不能为负数，舍去）。
答案：每轮传染中平均一个人传染了10个人。
例2：增长率问题
问题：某工厂工业废气年排放量为450万立方米，为改善大气环境质量，决定分两期投入治理，使废气的年排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同，求每期减少的百分率是多少？
分析：设每期减少的百分率为x，则第一期治理后废气年排放量为450(1-x)万立方米，第二期治理后废气年排放量为450(1-x)2万立方米，可列出方程450(1-x)2=288。
求解：
方程两边同时除以450，得到(1-x)2=0.64；
利用直接开平方法，1-x=
当1-x=0.8时，x=0.2=20%；当1-x=-0.8时，x=1.8（增长率不能大于1，舍去）。
答案：每期减少的百分率是20%。
例3：几何图形问题
问题：如图，在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分建成花园，要使花园的面积为540m^2，道路的宽应为多少？
分析：设道路的宽为x米，将两条道路平移到矩形的边缘，此时花园的长为(32-x)米，宽为(20-x)米，根据矩形面积公式可列出方程(32-x)(20-x)=540。
求解：
展开方程得640-32x-20x+x2=540，整理为x2-52x+100=0；
利用因式分解法，(x-2)(x-50)=0；
解得x1=2，x2=50（50大于矩形的宽，不符合实际，舍去）。
答案：道路的宽应为2米。
（三）课堂检测
1.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有（）人。
A.12B.10C.9D.8
2.某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为（）
A.10%B.15%C.20%D.25%
3.用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm^2的矩形。设矩形的一边长为xcm，则可列方程为（）
A.x(20+x)=64B.x(20-x)=64C.x(40+x)=64D.x(40-x)=64
4.为执行“两免一补”政策，某地区2023年投入教育经费2500万元，预计2025年投入3600万元。设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（）
A.2500x2=3600B.2500(1+x)2=3600
C.2500(1+x%)2=3600D.2500(1+x)+2500(1+x)2=3600
5.参