相似三角形几何模型（一线三等角）（培优练）
模型：
一线
一线三直角型
一线三等角
1．（2023春·北京西城·九年级北京四中校考开学考试）如图，在四边形中，，，点在上，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
2．（2023·上海·九年级假期作业）如图，直角梯形中，，，点E在边上，且，，求的面积．
3．（2023·福建泉州·南安市实验中学校考二模）如图，在中，，在边上，是边上一点，若，，，求的长
??
4．（2023春·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）如图，矩形中，E为上一点，把沿翻折，点D恰好落在边上的点F处．??
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
5．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，在正方形中，，在边上取中点，连接，过点做与交于点，与的延长线交于点．
（1）求证：；
（2）求的面积．
6．（2023秋·安徽滁州·九年级校联考期末）如图，在中，，，E，D分别是，上的点．，若，．求的长．
??
7．（2023秋·甘肃白银·九年级统考期末）如图，在正方形中，在边上取中点，连接，过点作交于点、交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
8．（2023秋·四川达州·九年级统考期末）如图，在中，，，点为边上一动点（不与点、重合），过点作射线交于点，使．
（1）求证：；
（2）当为直角三角形时，求线段长度．
9．（2023秋·陕西咸阳·九年级统考期末）如图，P为上一点，，连接．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
10．（2022秋·湖南株洲·九年级统考期中）如图，有一块矩形塑料模料，长为10cm，宽为4cm．将你的手中足够大的直角三角板的直角顶点落在边上（不与、重合），在上适当移动三角板顶点．当三角板两直角边刚好分别通过点与点时，求的长．
??
11．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图，在中，边绕点B顺时针旋转与重合，点D、E分别在边上，.
（1）求证：；
（2）若，，求的边长.
12．（2023·福建厦门·校联考二模）如图，在正三角形中，是边上任意一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
13．（2022秋·江苏南通·九年级统考阶段练习）如图，已知中，，点D，E分别在边上，．
（1）求证：；
（2）若，求点E到的距离．
14．（2023春·四川达州·八年级校考期末）如图，在中，，，点、分别在线段、上运动，并保持??
（1）当是等腰三角形时，求的长；
（2）当时，求的长．
15．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在四边形中，，，点在上，．
（1）求证：．
（2）若，，，求的长．
参考答案
1．（1）见分析；（2）7
【分析】（1）由，，可得出，再由等角的余角相等可得出，即可证明结论；
（2）根据相似三角形的性质即可求出的长度，结合即可求出的长度．
解：（1）证明：∵，，
∴，，
∴．
，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，即，解得:．
∴．
【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
2．24
【分析】先证明可得，再说明；设，由勾股定理可求得，进而求得，最后根据三角形的面积公式计算即可．
解：，，
．
又，
．
．
．
，
．
．
在中，，
设
∴,即，解得：
．
．
【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，根据题意证得并灵活运用相似的性质是解答本题的关键．
3．
【分析】根据得到，结合即可得到，从而得到，即可得到答案；
解：∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质，三角形相似的性质与判定，解题的关键是根据等腰三角形的性质得到三角形相似．
4．（1）见分析；（2）长为．
【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据翻折变换的性质得到，结合图形利用角之间的互余关系推出，从而根据相似三角形的判定定理证明即可；
（2）根据矩形的性质及翻折变换的性质推出，从而利用勾股定理求得，进而结合线段之间的和差关系利用相似三角形的性质进行求解即可．
解：（1）证明：四边形是矩形，
，
沿翻折得到，
，
，，
，
；
（2）解：，，
，
在中，
，
，
由（1）可得：，
，
即，
解得，
故长为．
【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质、矩形的性质及翻折变换的性质是解题的关键．
5．（1）证明见分析；（2）9
【分析】（1）先根据正方形的性质可得，再证出，然后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）先利用相似三角形的性质可得，从而可得，再证，利用相似三角形的性质可得，然后利用三角形的面积公式求解即可得．
解：（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，，
．
（2）解：∵