第二十八章圆
28.4垂径定理*
教学目标
1.理解垂径定理的证明过程，掌握垂径定理及其推论.
2.会用垂径定理进行简单的证明和计算.
教学重难点
重点:垂径定理及其应用.
难点：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题.
教学过程
复习引入
1.什么是轴对称图形?
2.圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?
3.你是用什么方法解决上述问题的？
（教师引导折叠课前准备的圆形纸片）
4.直径是圆的对称轴正确吗?
【师生活动】学生思考后回答，教师点评，指出“直径是圆的对称轴”这个结论错误的原因.师生共同归纳：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线（或直径所在的直线）.
【设计意图】通过生活实际问题导入新课，让学生感受数学来源于生活，又应用于生活.通过复习旧知识和创设动手操作活动，激发学生学习兴趣，探索圆的对称性，引出本节内容，为本节课的学习做好铺垫.
探究新知
我们知道了圆是轴对称图形，利用圆的轴对称性，我们还可以发现圆的一些性质.
1.垂径定理
问题情境：如图1，AB是☉O的一条弦，直径CD⊥AB,垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?
师生活动：学生独立思考并找出图中相等的线段和劣弧，教师巡视并指导.
【解】相等线段:AE＝BE.
相等劣弧：＝,＝.
图1理由：连接OA,OB，把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，与重合，与重合.
图1
教师追问：你能用语言来描述我们的发现吗？
师生活动：学生小组交流讨论，师生归纳，教师最后整理并板书.
【归纳总结】垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧
教师追问：能不能用所学过的知识证明垂径定理？
师生活动：（引发学生思考）要证明垂径定理，已知条件是什么？结论是什么？用什么方法证明?
【解】已知：如图，在☉O中，CD是直径，AB是弦，且AB⊥CD，垂足为E.
求证：AE＝BE，＝，＝.
证明：如图2，连接OA，OB.
∵OA＝OB，CD⊥AB，∴AE＝BE.
又∵☉O关于直径CD对称，
∴A点和B点关于直径CD对称，
图2∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合，因此＝.
图2
同理得到＝.
【归纳总结】根据图形写出已知和求证，再构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质“三线合一”，从而证得结论成立.
推导格式
∵CD是直径，CD⊥AB，垂足为E，
∴AE＝BE，＝，＝.
ABO
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
②③④
师生活动：（引发学生思考）垂径定理具备的条件.
【解】图①具备；图②不具备，因为没有垂直；图③具备；图④不具备，因为CD没过圆心.
【归纳总结】（学生总结，老师点评）垂径定理具备的条件是过圆心且垂直，两个条件缺一不可.
【归纳】垂径定理的几个基本图形：
②③④
2.垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
推导格式
教师追问：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
师生活动：学生独立思考并举反例，师生共同归纳.
【归纳总结】圆的两条直径是互相平分的，但是不一定相互垂直.
一条直线满足下面五个条件中的两个条件，即可推出其他三个.
图3①
图3
②垂直于弦；
③平分弦（非直径）；
④平分弦所对优弧；
⑤平分弦所对劣弧.
新知应用
例1如图4所示，已知CD为☉O的直径，AB为弦，且AB⊥CD，垂足为E.若ED=2，AB=8，求直径CD的长.
图4
教师引导思考：
1.如何把圆的半径转化为三角形中的线段?
（连接半径，构造直角三角形）
2.构造的直角三角形中三边之间有什么特点?
（根据垂径定理得三角形一边是弦长的一半，另两边的长正好相差ED长）
3.直角三角形中已知一边、另外两边之间的关系，如何求另两边长?
（设未知数，用勾股定理列方程求解）
解：如图5所示，连接OA.
设☉O的半径为r.
∵CD为☉O的直径，AB⊥CD，
∴AE=BE.
∵AB=8，
∴AE=BE=4.
图5在Rt△OAE
图5
OA2=OE2+AE2，OE=OD-ED，
即r2=(r-2)2+42.
解得r=5，从而2r=10.
∴直径CD的长为10.
【拓展归纳】
（1）涉及垂径定理时辅助线的添加方法
在圆中有关