第1课时直线的方向向量与平面的法向量
a1，a2，a3…an是一组非零共线向量，表示向量a1的有向线段所在直线与直线l平行．
问题1：表示向量a2，a3，…an的有向线段所在直线与直线l的关系怎样？
提示：平行或重合．
问题2：如何表示a1，a2…an与直线l的关系呢？
提示：利用一个向量来表示直线l的方向，a1，a2，…an与该向量共线．
直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量.
直线l与平面α垂直，l1，l2是平面α内的两条直线．
问题1：表示直线l的方向向量的有向线段所在的直线与平面α是否垂直？
提示：垂直．因为这些直线与l平行或重合．
问题2：直线l的方向向量与直线l1，l2的方向向量是否垂直？
提示：垂直．
1．如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫做平面α的法向量．
2．与平面垂直的直线叫做平面的法线．因此，平面的法向量就是平面法线的方向向量．
1．一条直线有无数个方向向量，它们共线．一个平面有无数个法向量，它们也共线．
2．平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量．
3．给定一点A和一个向量a，那么过点A，以向量a为法向量的平面是惟一的．
[例1]根据下列条件，分别判定相应直线与平面、平面与平面的位置关系：
(1)平面α，β的法向量分别是u＝(－1,1，－2)，v＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2，－\f(1,2)))；
(2)直线l的方向向量a＝(－6,8,4)，平面α的法向量u＝(2,2，－1)．
[思路点拨]利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关系．
[精解详析](1)∵u＝(－1,1，－2)，v＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2，－\f(1,2)))，
∴u·v＝(－1,1，－2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2，－\f(1,2)))＝－3＋2＋1＝0，
∴u⊥v，故α⊥β.
(2)∵u＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)，
∴u·a＝(2,2，－1)·(－6,8,4)＝－12＋16－4＝0，
∴u⊥a，故l?α或l∥α.
[一点通]
1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)．
2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行．
3．两个平面的法向量共线时，两平面平行．
1．若两条直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)，则l1与l2的位置关系为________．
解析：∵b＝－2a，∴a∥b，即l1∥l2或e1与e2重合．
答案：平行或重合
2．根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：
(1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)；
(2)平面α，β的法向量分别是u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9，0)；
(3)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)；
(4)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(3,2,1)，u＝(－1,2，－1)．
解：(1)∵a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)，
∴a·b＝8－6－2＝0，
∴a⊥b，即l1⊥l2.
(2)∵u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)，
∴v＝－3u，
∴v∥u，即α∥β.
(3)∵a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)，
∴a·u≠0且a≠ku(k∈R)，
∴a与u既不共线也不垂直，即l与α相交但不垂直．
(4)∵a＝(3,2,1)，u＝(－1,2，－1)，
∴a·u＝－3＋4－1＝0，
∴a⊥u，即l?α或l∥α.
[例2]已知点A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,5)，求平面ABC的一个单位法向量．
[思路点拨]可先求出一个法向量，再除以该向量的模，便可得到单位法向量．
[精解详析]由于A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,5)，
所以＝(－3,4,0)，＝(－3,0,5)．
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
则有n·＝0，且n·＝0，
即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x＋4y＝0，,－3x＋5z＝0.))取z＝1，得x＝eq\f(5,3)，y＝eq\f(5,4)，
于是n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(5,4)，1)).又|n|＝eq\f(\r(769),12)，
所以平面α的单位法向量是
n0＝±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,\