我们在第二章中介绍的F检验适用于检验CLR模型的线性约束条件。如果施加于模型的约束是非线性的，模型存在参数非线性，或者扰动项的分布不是正态的，在这些情况下，F检验就不再适用，通常需要采用LR、W和LM这三个检验方法中的一个来检验约束条件是否成立。这三个检验方法是渐近等价的，与这些检验相联系的统计量的小样本分布是未知的，但它们每一个都渐近地服从自由度为约束条件个数的分布第31页，共76页，星期日，2025年，2月5日一、三种检验的基本原理这三个检验统计量基于三个不同的原理，我们用下图来解释之。第32页，共76页，星期日，2025年，2月5日图中，对数似然函数（）由上面的那条曲线表示，它是要估计的参数的函数。是使达到极大的值。假设要检验的约束条件是，这一条件在这个值得到满足，从图上看，这个点是函数与横轴的交点。下面对这三个检验所依据的原理作出解释。第33页，共76页，星期日，2025年，2月5日1.LR检验如果约束条件为真，则在施加约束条件的情况下，的极大值不应当显著小于的无约束极大值。因此，LR检验要检验的是（-）是否显著异于0。2.W检验如果约束条件为真，则不应当显著异于0，其中是的无约束极大似然估计值。因此，W检验要检验的是是否显著异于0。第34页，共76页，星期日，2025年，2月5日3.LM检验对数似然函数在A点达到极大，在这点关于的斜率为0。如果约束条件为真，则在B点的斜率不应当显著异于0。LM检验要检验的是用约束估计值计算的的斜率是否显著异于0。第35页，共76页，星期日，2025年，2月5日二、似然比（LR）检验设为待估计参数向量，原假设规定施加于这些参数上的约束，为的无约束极大似然估计量，为约束极大似然估计量。如果和分别是用这两个估计值计算的似然函数值，则似然比（LikelihoodRatio）为：第36页，共76页，星期日，2025年，2月5日此函数的值位于0和1之间，因为两个似然都是正的，并且不会大于（约束最优不可能超过无约束最优）。如果过于小，则有理由怀疑约束条件的正确性。LR检验的检验统计量是，该统计量在大样本情况下服从自由度为约束条件个数的分布。第37页，共76页，星期日，2025年，2月5日三、沃尔德（W）检验在实践中似然比检验的短处是需要估计约束和无约束参数向量，也就是说，既要进行约束回归，又要进行无约束回归。在复杂模型中，其中的一个估计值可能很难计算。幸运的是，有两个可供选择的方法，即沃尔德检验和拉格朗日乘数检验，可以解决这个问题。这两个检验只需要估计约束和无约束参数向量中的一个。第38页，共76页，星期日，2025年，2月5日设是在无约束情况下得到的参数估计值向量，要检验的原假设为：若约束条件成立，则至少应该近似地满足它们。如果原假设是错的，则应该比单由抽样变差所解释的情况要更远离0。W检验就是遵循这个思路构建的。W统计量是成立和大样本的情况下，W服从自由度为约束条件个数的分布。第39页，共76页，星期日，2025年，2月5日要注意的是，W统计量仅需要无约束模型的计算，但仍需要计算协方差矩阵，其估计值由下式给出：其中和分别表示估计和渐近。是一个矩阵，J是约束条件的个数，K是待估计参数的个数，它的第j行是第j个约束关于的第k个元素的导数。第40页，共76页，星期日，2025年，2月5日四、拉格朗日乘数（LM）检验第三个检验是拉格朗日乘数（LM）检验，亦称score检验。该检验基于约束模型，无需估计无约束模型。假设我们要在施加一组约束条件的情况下极大化对数似然函数，令表示拉格朗日乘数向量，并定义拉格朗日函数第41页，共76页，