案例十七——复信号有如此妙用之希尔伯特变换

内容概要

案例设置目的

相关基础理论

情境任务及步骤

基于希尔伯特变换的时频分析

AM（幅度调制）信号特征及解调

思考题

总结报告要求

案例设置目的

通过实验了解解析信号的构造方法以及解析信号在时频分析、包络解调、单边带调制、带通信号采样等场合的应用，理解实信号和复信号的频谱特性。

相关基础理论

1.解析信号及连续希尔伯特变换

设x(n)为实信号，由DTFT定义和欧拉公式可知：

（17.1）

若按照数字角频率ω的取值进行划分，X(ejω)可以划分成三段：

（17.2）

仔细观察ω取大于0和小于0的部分，不难理解X(ejω)在ω取大于0和小于0的两部分是共轭关系，因此模值相同，所以实序列x(n)的频谱是关于ω=0偶对称的。

若对X(ejω)做如下处理：在ω≥0时乘以－j，在ω0时乘以j，并将处理后的结果记为X?(ejω)，ω=0时乘以0即

（17.3）

相关基础理论

将实序列x(n)的DTFT结果X(ejω)与X?(ejω)进行如下的线性组合，不难发现组合的结果在在ω0时结果变成了0，在ω≥0时X(ejω)的幅度加倍。从图形的角度看，|X(ejω)|关于ω=0偶对称，而|X(ejω)+jX?(ejω)|是非对称图形，非零部分或非负频率处的幅度是|X(ejω)|的两倍。

（17.4）

综上，通过对实序列x(n)的DTFT结果X(ejω)进行分段处理，之后将处理后的结果与X(ejω)进行线性组合可以得到只包含X(ejω)非负频率的结果（其中的2倍可以通过乘以1/2或增益控制变成幅度保持不变），从而提高频谱资源效率，这种思想便是希尔伯特变换（HilbertTransform）。

相关基础理论

设xr(t)是一个实信号，其傅里叶变换（连续时间傅里叶变换CTFT）为Xr(

jf

)，则可构造仅包含X(jf)非负频率分量的函数Xa(jf)

（17.5）

其中sgn(f)为符号函数，f0时sgn(f)=-1，f=0时sgn(f)=0，f0时sgn(f)=1。

只保留了Xr(jf)非负频率分量的Xa(jf)对应的时域信号与xr(t)有什么关系呢？对Xa(jf)进行傅里叶逆变换得到的时域信号记为xa(t)，即

（17.6）

（17.7）

其中符号“?”表示线性卷积。

相关基础理论

由式（17.7）可以看出Xa(jf)对应的时域信号xa(t)是个复信号，且实部就是原来的实信号xr(t)，而虚部也与xr(t)密切相关。由于xa(t)的傅