案例九——系统函数零极点那些事儿

内容概要案例设置目的相关基础理论情境任务及步骤利用系统函数H(Z)的极点分布判定系统的稳定性利用系统函数H(Z)的极点分布分析系统的频率响应梳状滤波器的频率响应思考题总结报告要求

案例设置目的通过对比零极点位置改变前后幅频响应的变化，理解零极点位置对于系统幅频特性的影响；掌握用系统函数极点位置判定系统稳定性的方法；理解梳状滤波器的幅频特性特点；了解系统频率响应的几何确定法。

相关基础理论线性时不变系统常用下述形式的线性常系数差分方程描述，即（9.1）或者（9.2）差分方程描述的系统也常用权重或系数矩阵表示，，其中a0???1。对式（9.2）两端做双边Z变换，并整理得（9.3）H(Z)?为线性时不变系统的系统函数，H(Z)?的分子和分母分别为Z?1的M次多项式和N次多项式。将分子分母同时分解为Z的一次因式，式（9.3）可改写为（9.4）式中K——增益；Zr——零点；pl——极点。通过分析其系统函数H(Z)?，可以确定系统的很多属性，如稳定性、幅频特性等。

相关基础理论当系统函数H(Z)?的所有极点均位于单位圆内时，该系统为一稳定系统。这也是系统设计完成后，判定系统稳定性常用的一种方法。对于稳定的系统，系统单位脉冲?响应在Z平面单位圆上的Z变换即为该系统的频率响应，即（9.5）若将Z平面上原点O连到零点Zr的有向线段、O连到单位圆上角度为??的点B的有向线段和O连到极点pl的有向线段均看成一个矢量，并分别记为矢量OZr、OB和Opl，则式（9.5）中分子的每个ej??一次分式都等价为矢量差OB－OZr，结果为ZrB，同理分母的每个ej?一次分式都等价为矢量差OB－Opl，结果为plB，即（9.6）式中ZrB和plB——分别表示极径（各自矢量大小）；?r和?l?——分别表示极角（各自矢量角度）。

相关基础理论从矢量运算的角度看，式（9.5）中分子的所有ej??一次因式的乘积等价为所有零点Zr到单位圆上同一角度??的矢量积。同理，分母的所有ej??一次因式的乘积等价为所有极点pl到单位圆上同一角度??的矢量积，且分子、分母同时对准一个角度，如图9.1所示。引入矢量表示后，式（9.5）可改写为（9.7）