案例二十四——椭圆滤波器设计

内容概要案例设置目的相关基础理论情境任务及步骤椭圆低通滤波器设计验证滤波器幅频特性思考题总结报告要求

案例设置目的通过step-by-step模式设计模拟椭圆滤波器，掌握该类模拟滤波器设计方法与步骤，理解椭圆滤波的通带、阻带特性，理解MATLAB关于椭圆滤波器设计函数的算法原理。

相关基础理论Cauer滤波器通常又称为椭圆滤波器，其特点是通带和阻带都是等波纹波动的，进一步降低了所设计滤波器与目标滤波器之间的指标富余量。事实证明，在阶数一定的情况下，椭圆滤波器与Butterworth滤波器、Chebyshev滤波器相比，过渡带最窄，另外在所有能满足指标要求的三种滤波器中，椭圆滤波器的阶数最低。而且与同阶数的Chebyshev滤波器相比，同为有波动的频带内，椭圆滤波器的波动要小。椭圆滤波器也是由平方幅度函数描述的：（24.1）其中，RN(?)(?=?/?p)?为雅克比（Jacobi）椭圆函数。RN(?)有两个非常重要的性质：（1）RN(?)是阶数N的有理函数，且满足RN(1/?)=1/RN(?)。（2）分子多项式的根均落在0λ1的区间内，分母多项式的根均落在区间1λ∞内。对于低通滤波器而言，通带内（0≤λ1）都是尽可能地保留对应频率分量信号，所以RN(?)都是非常小的数。性质（1）表明，1/λ1或阻带内，1/RN(1/?)取值非常大，因此使得幅频响应曲线在阻带衰减很快。

相关基础理论N阶椭圆滤波器的归一化系统函数H(j?)中既包含零点，又包含极点。因雅克比椭圆函数涉及更多纯数学理论，这里就不再给出零极点表达式，而是直接给出归一化传递函数H(j?)的表达式：（24.2）中?zk、?pk分别是归一化传递函数的零点和极点；K为增益调节系数。归一化传递函数H(j?)确定后，通过去归一化得到模拟低通滤波器的传递函数Ha(s)：（24.3）

相关基础理论椭圆滤波器的设计方法（AnalogCauer-typefilterDesign--ACD）与步骤与Butterworth滤波器、Chebyshev滤波的相同，包括以下几个步骤。ACDStep1：求解滤波器的阶数N。ACDStep2：确定归一化传递函数Ha(?j?)。ACDStep3：去归一化确定传递函数的Ha(s)。

情境任务及步骤设计一椭圆低通滤波器，具体指标为：通带范围为0～40Hz，通带最大衰减为1dB（?p=1dB），150Hz以上为阻带，最小衰减为60dB（?st=60dB）。1．椭圆低通滤波器设计1）确定椭圆滤波器阶数N调用MATLAB函数ellipord确定模拟椭圆滤波器的阶数N，注意函数输入参数和选项要求。该函数还会返回截止频率Wn，对比查看Wn与题目中哪个滤波器指标一致。与式（24.1）给出的用于进行归一化的频率一致吗？并将两个结论记于报告中。2）确定滤波器的归一化传递函数H(j?)基于MATLAB函数确定归一化传递函数时有两种方式，分别是按照先求极点再确定多项式系数的方法和直接调用一个函数实现的方法，通过这种方式来拆解ellip函数的功能。（1）分步实现。首先调用MATLAB函数ellipap确定归一化传递函数Ha(j?)的零极点，继而调用函数zp2tf直接获得H(j?)的分子、分母多项式的系数矩阵，分别记为b1和a1。

情境任务及步骤（2）一步到位。调用MATLAB函数ellip，边界频率Wn=1，确定模拟椭圆滤波器归一化传递函数H(?j?)?的分子、分母多项式的系数矩阵，分别记为b2和a2。分别比较两种方法得到的H(?j?)?的分子分母多项式系数矩阵的异同，并将结论记于报告中。3）对归一化传递函数H(j?)去归一化，得到滤波器的传递函数Ha(s)基于MATLAB函数确定传递函数时有三种方式，前两种方式延续了2）中的步骤，